Enunciado

Um caminhão-tanque cheio de água, de massa total M, utilizado para limpar ruas com um jato de água, trafega por uma via horizontal, com coeficiente de atrito cinético μ c . Ao atingir uma velocidade v 0 , o motorista coloca a marcha no ponto morto e liga o jato de água, que é enviada para trás com a velocidade v e relativa ao caminhão, com uma vazão de λ litros por segundo. Ache a velocidade v t do caminhão depois de um tempo t .

Passo 1

  • Galera, quando o caminhão coloca a marcha em ponto morto duas forças atuam nele: a força de empuxo gerada pelo jato d’água e a força de atrito cinético gerada pelo contato dos pneus com o solo.
  • F r e s = F e - F a t

    Além disso, como o peso é igual a normal temos

    F a t = m g μ c

    F r e s = F e - m g μ c

  • Dito isso vamos relacionar as velocidades e a força de acordo com a segunda lei de newton

F r e s = d P d t = d d t m v

A variação de momento que a água sofre é

Δ m ( v - v e )

( Um detalhe importante aqui é que a água sai com v e em relação ao caminhão , mas para nós, observadores de fora, sua velocidade é dada por v - v e )

Reescrevendo isso de acordo com nossa lei acima fica assim

F e = d m d t v - v e

Colocando na nossa equação da força resultante lá em cima

F r e s = d m d t v - v e - m g μ c

d d t ( m v ) = d m d t v - v e - m g μ c

Pela regra do produto temos

d m d t v + d v d t m = d m d t v - d m d t v e - m g μ c

d v d t m =   - d m d t v e - m g μ c

d v = - d m v e m - g μ C d t

Agora é só integrar dos dois lados, tomando cuidado com os limites, inicialmente temos a massa M total do caminhão e no fim uma massa m , pois ele perde água ao longo do tempo

∫ v 0 v d v =   - v e ∫ M m d m m   - ∫ 0 t g μ c     d t

v - v 0 =   - v e l n m M - g μ c t  

Além disso, sabemos que a massa m em função do tempo pode ser representada por essa função aqui, já que a taxa de perda de litro é a taxa de perda de quilos ( 1L = 1Kg )

m = M - λ t

v = v 0   - g μ c t + v e l n M M - λ t

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Resposta

v = v 0   - g μ c t + v e l n M M - λ t

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