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Um canhão dispara um projétil com uma velocidade inicial v 0 = 20   m / s e um ângulo θ 0 = 60 ° com a horizontal. No ponto mais alto da trajetória, o projétil explode em dois fragmentos de massas iguais (Fig. 9-42). Um fragmento, cuja velocidade imediatamente após a colisão é zero, cai verticalmente. A que distância do canhão cai o outro fragmento, supondo que o terreno é plano e que a resistência do ar pode ser desprezada?

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Primeiro, vamos determinar a velocidade e a posição do projétil instantaneamente antes da explosão. Para isso, devemos lembrar que no ponto mais alto, a componente y da velocidade é nula, lembrando que a componente y da velocidade em função do tempo é:

v y t = v 0 y - g t

v y t = v 0 sin ⁡ θ 0 - g t

Assim, no ponto mais alto:

0 = 20 sin ⁡ 60 ° - 9,8 t

Isolando t :

t = 1,77   s

Passo 2

Com o tempo em mãos, podemos calculcar a posição da projétil no ponto da explosão. Usando a função horária da posição para determinar a posição em y :

y t = v 0 y t - g t 2 2

y t = v 0 sin ⁡ θ 0 t - g t 2 2

Substituindo os valores:

y E = 20 sin ⁡ 60 ° 1,77 - 1 2 9,8 1,77 2

y E = 15,3   m

E a função da posição para um MRU para determinar a posição em x :

x t = v 0 x t

x t = v o cos ⁡ θ 0 t

Substituindo os valores:

x E = 20 cos ⁡ 60 ° 1,77 = 17,7   m

Assim, a posição onde ocorre a explosão é ( 17,7   m ; 15,3   m ) .

Passo 3

Lembrando que no eixo x não há aceleração, então a velocidade em x é constante:

v x = v 0 x = 20 cos ⁡ 60 ° = 10   m / s

Portanto, a velocidade do projétil no momento da explosão é ( 10   m / s ; 0 )

Passo 4

Como ocorreu uma explosão, podemos aplicar a conservação do momento linear entre os instantes imediatamente antes da explosão e imediatamente depois, assim:

M v E → = m 1 v 1 → + m 2 v 2 →

Como o projétil foi dividido em pedaços iguais e que um pedaço possui velocidade nula após a explosão, então:

M 10 i ^ + 0 j ^ = M 2 0 i ^ + 0 j ^ + M 2 v x i ^ + v y j ^

Calculando para o eixo x :

10 M = M 2 v x

Isolando v x :

v x = 20   m / s

E, agora, para o eixo y :

0 = M 2 v y

v y = 0

Passo 5

Agora, devemos analisar apenas o movimento do segundo fragmento. Como a componente y da velocidade é nula e a aceleração é a gravidade, então:

y t = y 0 - g t 2 2

Onde o y 0 já foi calculado, que é a posição onde ocorre a explosão, y 0 = y E = 15,3   m . Assim, calculando o tempo que ele chega em y = 0 :

0 = 15,3 - 1 2 9,8 t q 2

Isolando t q :

t q = 15,3 × 2 9,8 = 1,77   s

Passo 6

Calculado agora a componente x posição do fragmento do projétil no instante t q = 1,77   s , lembrando que este é um MRU, portanto:

x t = x 0 + v x t

Com x 0 = x E = 17,7   m e v x = 20   m / s :

x t q = 17,7 + 20 × 1,77

x t q = 53,1   m

Portanto, o projétil cai a 53,1   m do canhão.

Resposta

d = 53,1   m

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