Enunciado

Um cano de comprimento L = 25,0   m , aberto em uma das extremidades, contém ar à pressão atmosférica. O cano é introduzido verticalmente em um lago de água doce até que a água atinja metade da altura do tubo. Qual é a profundidade h da extremidade inferior do tubo? Suponha que a temperatura da água é a mesma do ar e não varia quando o cano é introduzido na água.

Passo 1

Para que esse sistema esteja em equilíbrio, as pressões no fundo do cano e do lago devem ser iguais:

p c a n o = p l a g o

No caso do cano, temos a pressão da porção de ar que está presa em seu interior, somada à pressão da camada de água:

p a r + p c m d = p l a g o

E no caso do lago, temos a pressão atmosférica somada à pressão da água do lago:

p a r + p c m d = p a t m + p á g u a

Passo 2

Vamos reescrever os termos dessa equação. Começamos com as pressões das massas de água:

p c m d = ρ a g g L 2

p á g u a = ρ a g g h

E então:

p a r + ρ a g g L 2 = p a t m + ρ a g g h

ρ a g g h - L 2 = p a r - p a t m

h = p a r - p a t m ρ a g g + L 2

A camada de ar que produz a pressão p a r corresponde ao ar que antes ocupava o tubo inteiro, e que tinha pressão igual à atomsférica.

Quando a água empurra o ar para cima, a quantidade de ar não muda, mas fica confinada na metade do volume, e por isso deve exercer o dobro da pressão:

p a r = 2   p a t m

E então:

h = 2   p a t m - p a t m ρ a g g + L 2 = p a t m ρ a g + L 2

Passo 3

Agora vamos substituir os valores numéricos:

h = 1,01.10 5 ( 10 3 ) ( 9,8 ) + 25,0 2 = 22,8   m

Resposta

A profundidade da extremidade inferior é h = 22,8   m .

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