Enunciado

Um capacitor é feito com uma folha de PVDF (constante dielétrica 11 e rigidez dielétrica 1,0 ⋅ 10 2   k V / m m ). A folha tem espessura de 5,0   μ m , e em uma de duas faces é depositado um filme de alumínio com espessura de 0,10   μ m . A folha é enrolada em torno de uma haste cilíndrica metálica de raio diminuto, formando um cilindro com raio de 5,0   c m e altura de 10   c m . A capacitância do capacitor equivale à da folha de PVDF com filmes de alumínio nas duas faces, cuja largura é 10   c m e cujo comprimento é proporcional ao número de voltas do rolo. Calcule a capacitância do capacitor.

Passo 1

Fala galerinha, beleza?

Essa questão é bem confusa, bem confusa mesmo! Vou destacar o ponto do enunciado que vamos nos concentrar:

“A capacitância do capacitor equivale à da folha de PVDF com filmes de alumínio nas duas faces, cuja largura é 10   c m e cujo comprimento é proporcional ao número de voltas do rolo.”

Podemos pensar nesse capacitor como se fossem dois capacitores de placas paralelas em série:

Sabemos que para capacitores em série vale

1 C = 1 C 1 + 1 C 2

Para o capacitor com PVDF, temos

C 1 = ϵ 0 κ 1 L H d 1

Já para o filme de alumínio:

C 2 = ϵ 0 κ 2 L H d 2

Portanto,

1 C = d 1 ϵ 0 κ 1 L H + d 2 ϵ 2 κ 2 L H = 1 ϵ 0 L H d 1 κ 1 + d 2 κ 2

Ou ainda,

C = ϵ 0 L H d 1 κ 1 + d 2 κ 2

Vamos calcular o denominador primeiro:

d = d 1 κ 1 + d 2 κ 2

Sabemos que d 1 = 5,0   μ m e d 2 = 0,1   μ m . Além disso, κ 1 = 11 e κ 2 = 9 (pesquisei na internet a constante dielétrica do alumínio). Com isso temos

d = 5 ⋅ 10 - 6 11 + 0,1 ⋅ 10 - 6 9 = 0,46 ⋅ 10 - 6   m

Já sabemos também que ϵ 0 = 8,85 ⋅ 10 - 12   C 2 / N m 2 , L = 10   c m = 0,1   m . Então só falta achar H para calcular a capacitância usando

C = ϵ 0 L H d

Passo 2

O grande segredo do exercício é achar esse H , que como foi dito no enunciado, deve ser proporcional ao número de voltas no rolo.

Vamos considerar a seguinte situação: pegue uma folha e vai girando-a em torno de um lápis. Cada volta terá um comprimento 2 π r , onde r vai variando conforme damos várias voltas, já que camadas da folha vão se acumulando. O comprimento total da folha será a soma de cada um desses comprimentos 2 π r . É isso que temos que fazer nesse problema!

Vamos considerar que a espessura da folha é Δ r e vamos dar n voltas. O raio da primeira volta é r 1 = 0 . Já para segunda será r 2 = Δ r , para a terceira r 3 = 2 Δ r e assim por diante...

Note que os raios obedecem a uma progressão aritmética com primeiro termo nulo e razão Δ r . Assim, a soma dos n primeiros termos dessa PA deve ser dada por

r 1 + r 2 + … + r n = r 1 + r n n 2

Por outro lado, usando a fórmula do termo geral:

r n = r 1 + n - 1 Δ r = 0 + n Δ r - Δ r = n Δ r - Δ r

Assim,

r 1 + r 2 + … + r n = n Δ r - Δ r + 0 ⋅ n 2 = n n - 1 Δ r 2

Agora vamos relacionar n , Δ r = 5,0   μ m e R = 5,0   c m por

Δ r = R n → n = R Δ r = 5,0 ⋅ 10 - 2 5,0 ⋅ 10 - 6 = 10 4

Desta forma,

r 1 + r 2 + … + r n = 10 4 ⋅ 10 4 - 1 ⋅ 5 ⋅ 10 - 6 2 = 2,5 ⋅ 10 2   m

A soma de todos os comprimentos é

H = 2 π r 1 + … + 2 π r n = 2 π r 1 + r 2 + … + r n = 2 π ⋅ 250 = 500 π   m

Com isso podemos calcular a capacitância:

C = ϵ 0 L H d = 8,85 ⋅ 10 - 12 ⋅ 0,1 ⋅ 500 π 0,46 ⋅ 10 - 6

Fazendo as continhas achamos

C = 3 ⋅ 10 - 3   F

Resposta

C = 3 ⋅ 10 - 3   F

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