Enunciado

Um capacitor de placas paralelas esti sendo carregado. O capacitor consiste em um par de placas circulares paralelas identicas com raiobe distincia de separaco d.

(a)Mostre que a corrente de deslocamento no espacamento do capacitor tem o mesmo valor que a corrente de conducio nos contatos do capacitor.

(b)Quais sdo a direcao e o sentido do vetor de Poynting na regido entre as placas do capacitor?

(c)Determine uma expressao para o vetor de Poynting nesta regido e mostre que seu fluxo na regido entre as placas e igual taxa de variacdo da energia armazenada no capacitor.

Passo 1

Podemos usar a expressão para a intensidade do campo elétrico entre as placas do capacitor de placas paralelas e a definição da corrente de deslocamento para mostrar que a corrente de deslocamento no capacitor é igual à corrente de condução nos condutores do capacitor. Em (b) podemos usar a definição do vetor de Poynting e as direções dos campos elétrico e magnético para determinar a direção do vetor de Poynting entre o capacitor. Em (c), vamos demonstrar que o fluxo de S → na região entre as placas é igual à taxa de variação da energia armazenada no capacitor por avaliar essas quantidades separadamente e mostrar que são iguais.

Passo 2

Letra a:

A corrente de deslocamento é proporcional à taxa em que o fluxo está mudando entre as placas:

I d = ϵ 0 d ϕ c d t = ϵ 0 d d t ( A E ) = ϵ 0 A d E d t

A intensidade do campo elétrico entre as placas do capacitor são dadas por:

E = Q ϵ e A

onde Q é a carga instantânea nas placas do capacitor.

Então,

I d = ϵ 0 A d d t Q ϵ 0 A = d Q d t = I

Passo 3

Letra b:

Como E → é perpendicular às placas do capacitor e B → é tangente a círculos que são concêntricos e cujo centro está no meio do capacitor, S → aponta radialmente para dentro em direção ao centro do capacitor.

Passo 4

Letra c:

O vetor de Poynting é:

S → = 1 μ 0 E → × B →

Seja E → = E i ^ ,

Então,

B ( 2 π R ) = μ 0 I d

B ( 2 π R ) = μ 0 ϵ 0 d ϕ c d t = μ 0 ϵ 0 d d t E A = μ 0 ϵ 0 π R 2 d E d t

B = μ 0 ϵ 0 2 R d E d t

E

B → = - μ 0 ϵ 0 2 R d E d t j ^

Passo 5

Substitua por B → e E → na equação e simplifique para obter:

S → = 1 μ 0 E i ^ × - μ 0 ϵ 0 2 R d E d t j ^ = ϵ 0 E 2 d E d t R ( i ^ × - j ^ ) = - ϵ 0 E 2 d E d t R R ^

A taxa na qual a energia é armazenada no capacitor é:

d U d t = d d t ( u V ) = V d d t ϵ 0 E 2 = A d ϵ 0 E d E d t

d U d t = A d ϵ 0 Q ϵ 0 A d d t Q ϵ 0 A = Q d ϵ 0 A d Q d t = Q d ϵ 0 A I

∮ S n d A = π ϵ 0 Q ϵ 0 A b 2 d d d t Q ϵ 0 A = π Q π b 2 b 2 d ϵ 0 A d Q d t = Q d ϵ 0 A I

Como ∮ S n d A = d U / d t , provamos que o fluxo de S → para a região entre o capacitor é igual à taxa de mudança da energia armazenada no capacitor.

Resposta

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