Enunciado

Os capacitores C 1 e C 2 estão conectados a um resistor de resistência R e a uma bateria ideal que tem tensão nos terminais V 0 , como mostra a Figura 25-79. A chave S está inicialmente no contato a e ambos os capacitores estão descarregados. A chave é, então, girada para o contato b e deixada lá por um longo tempo. Finalmente, no instante t=0, a chave retorna ao contato a.

a) Compare quantitativamente a energia total armazenada nos dois capacitores em t=0 e em um longo tempo depois.

b) Determine a corrente através de R como uma função de t para t > 0.

c) Determine a energia entregue ao resistor como uma função de t para t > 0.

d) Determine a energia total dissipada no resistor depois de t = 0 e compare-a com a perda da energia armazenada determinada na parte (a).

Passo 1

a)

Meus queridos e minhas queridas, a questão é um pouco extensa, então, vamos com calma!

As equações das energias final e inicial são:

U i = 1 2 C 1 V 0 2

U f = 1 2 Q 1 2 C 1 + 1 2 Q 2 2 C 2

Visto que:

Q = C 1 V 0 = Q 1 + Q 2

Q 1 C 1 = Q 2 C 2

Q 1 = C 1 C 2 Q 2

Então:

C 1 V 0 = C 1 C 2 Q 2 + Q 2 = Q 2 C 1 C 2 + 1 = Q 2 C 1 + C 2 C 2

Isolando Q 2 :

Q 2 = C 1 C 2 C 1 + C 2 V 0

Lembrando que:

Q 1 = C 1 C 2 Q 2

Q 1 = C 1 C 2 C 1 C 2 C 1 + C 2 V 0 = C 1 2 C 1 + C 2 V 0

Vamos substituir as equações encontradas nas equações iniciais:

U f = 1 2 Q 1 2 C 1 + 1 2 Q 2 2 C 2

U f = 1 2 C 1 2 C 1 + C 2 V 0 2 C 1 + 1 2 C 1 C 2 C 1 + C 2 V 0 2 C 2

U f = 1 2 C 1 2 C 1 + C 2 V 0 2

Vamos fazer duas comparações:

- Primeiro, a diferença entre o potencial inicial e o final:

U i - U f = 1 2 C 1 V 0 2 - 1 2 C 1 2 C 1 + C 2 V 0 2 = 1 2 C 1 C 2 C 1 + C 2 V 0 2

- Segundo, a razão entre o potencial inicial e o final:

U i U f = C 1 V 0 2 C 1 2 C 1 + C 2 V 0 2 C 1 + C 1 C 2 C 1 + C 2 V 0 2 C 2 = 1 + C 2 C 1

O que significa que U i > U f já que o fator C 2 C 1 > 0 .

Passo 2

b)

Vamos aplicar a lei de Kirchoff para quando a chave está em a:

q 1 C 1 - I R - q 2 C 2 = 0

Onde:

I = d q 2 d t

Então:

q 1 C 1 - R d q 2 d t - q 2 C 2 = 0

Vamos aplicar a conservação da carga durante o carregamento:

q 1 = Q - q 2 = C 1 V 0 - q 2

Vamos substituir na equação original:

C 1 V 0 - q 2 C 1 - R d q 2 d t - q 2 C 2 = 0

V 0 = R d q 2 d t + C 1 + C 2 C 1 C 2 q 2

Vamos admitir que a solução da EDO é dada por:

q 2 t = a + b e - t τ

d q 2 t d t = - b τ e - t τ

Com isso, teremos:

V 0 = R - b τ e - t τ + C 1 + C 2 C 1 C 2 a + b e - t τ

V 0 = - R τ e - t τ b + C 1 + C 2 C 1 C 2 a + C 1 + C 2 C 1 C 2 e - t τ b

Por comparação:

a = C 1 C 2 C 1 + C 2 V 0 = C e q V 0

E

- R τ e - t τ b + C 1 + C 2 C 1 C 2 e - t τ b = 0

Simplificando por e - t τ b :

- R τ + C 1 + C 2 C 1 C 2

τ = R C 1 C 2 C 1 + C 2 = R C e q

Lembrem:

q 2 0 = 0

0 = a + b

b = - a = - C e q V 0

Logo:

q 2 t = a + b e - t τ

q 2 t = C e q V 0 - C e q V 0 e - t τ

q 2 t = C e q V 0 1 - e - t τ

Por fim, vamos derivar a equação encontrada em função de t:

I t = C e q V 0   d d t 1 - e - t τ = C e q V 0   - e - t τ - 1 τ  

I t = C e q V 0   τ e - t τ

Como:

τ = R C e q

Finalmente:

I t = V 0   R e - t τ

Passo 3

c)

Vamos encontrar a equação da energia dissipada em função do tempo:

P t = I 2 R = V 0   R e - t τ 2 R = V 0 2 R e - 2 t τ

Passo 4

d)

Agora, para encontrarmos a energia total dissipada, precisamos resolver a seguinte integral:

E = V 0 2 R ∫ 0 + ∞ e - 2 t τ d t = 1 2 V 0 2 C e q

Como:

C e q = C 1 C 2 C 1 + C 2

Teremos:

E = 1 2 C 1 C 2 C 1 + C 2 V 0 2

Resposta

a )   U i > U f

b )   I t = V 0   R e - t τ

c )   P t = V 0 2 R e - 2 t τ

d )   E = 1 2 C 1 C 2 C 1 + C 2 V 0 2

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