Enunciado

Um casal de astronautas concorda em se encontrar no espaço depois do horário de trabalho. O plano deles é deixar que a gravidade os aproxime. Um deles tem uma massa de 65 kg e o outro, de 72 kg, e eles partem do repouso afastados por 20,0 m um do outro. (a) Desenhe um diagrama do corpo livre de cada astronauta e use-o para descobrir sua aceleração inicial. Como uma aproximação bruta, podemos modelar os astronautas como esferas uniformes. (b) Se a aceleração dos astronautas permanecesse constante, quantos dias eles teriam de esperar antes que um alcance o outro? (Cuidado! Ambos possuem aceleração em direção ao outro.) (c) Sua aceleração realmente permaneceria constante? Se não, ela aumentaria ou diminuiria? Por quê?

Passo 1

Faaaaala meu povo, bora iniciar mais um livrinho com a gente!

Para essa questão, primeiramente iremos definir o primeiro astronauta com massa m 1 = 65   k g e o segundo com m 2 =   72 k g . Ambos os astronautas se movem com uma aceleração devido à força gravitacional entre ambos, essa força é dada pela lei geral da gravidade de Newton descrita como:

F = G m 1 m 2 r 2

Onde r é a distância entre os dois astronautas e é dada por r = 20   m e G é a constante geral da gravidade e é igual a 6.673 × 10 - 11   N m 2 / k g 2 . Assim temos que:

F = G m 1 m 2 r 2

= 6.673 × 10 - 11 ( 65 ) × ( 72 ) 20 2

F = 7,807 × 10 - 10   N

Passo 2

Letra a)

Essa força é exercida sobre cada astronauta e faz com que ele se mova com uma aceleração. Pela lei do movimento de Newton, essa aceleração pode ser encontrada por:

F = m × a

Isolando aceleração, temos:

a = F m

Assim, sabendo o valor da força, iremos substituir a massa de cada astronauta e dessa forma calcular sua aceleração.

a 1 = F m 1 = 7,807 × 10 - 10   65   = 1,2 × 10 - 11   m / s 2

a 2 = F m 2 = 7,807 × 10 - 10   72   = 1 , 1 × 10 - 11   m / s 2

A força gravitacional entre os dois os aproxima, então o diagrama de corpo livre é mostrado na figura abaixo:

Passo 3

Letra b)

Como mostram nossos resultados na letra (a), a aceleração é muito pequena para ambos os astronautas, então faz sentido que demore dias para atingir os outros. Para determinar o tempo, usamos equações de movimento na forma:

x = v 0 t + 1 2 a t 2

Onde x é a distância que a pessoa percorre, t é o tempo e v 0 é a velocidade inicial. Temos que considerar a velocidade e distância de cada astronauta de forma que teremos então a seguinte equação:

x 1 + x 2 = 1 2 a 1 t 2 + 1 2 a 2 t 2

Sabemos que o valor das distâncias x 1 + x 2 = r , reorganizando a equação, temos:

r = 1 2 t 2 ( a 1 + a 2 )

t = 2 r a 1 + a 2  

Agora a gente vai substituir os valores:

t = 2 ( 20 ) ( 1,2 × 10 - 11 ) + ( 1 , 1 × 10 - 11 )  

t = 1,32 × 10 6   s ≈ 15   d i a s

Passo 4

Letra c)

A força gravitacional entre ambos é dada pela equação:

F = G m 1 m 2 r 2

Como mostrado por esta equação, a força muda conforme r a distância entre as duas massas muda. Ambos os astronautas se aproximam, o que significa que a distância entre eles diminui. Nesse caso, a força entre os dois aumenta, portanto, a aceleração de cada um aumenta.

Tudo certinho? Te vejo na próximaaaaa!

Resposta

Letra a)

a 1 = 1,2 × 10 - 11   m / s 2

a 2 = 1 , 1 × 10 - 11   m / s 2

Letra b)

15   d i a s

Letra c)

a c e l e r a ç ã o   a u m e n t a

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