Enunciado

Centenas de milhares de asteroides giram em torno do Sol no interior do cinturão de asteroides, que se estende desde uma distancia do Sol de 3 × 10 8   k m até cerca de 5 × 10 7   k m . a) Ache o período orbital (em anos) para i) um asteroide na parte interna do cinturão e ii) um asteroide na parte externa do cinturão. Considere órbitas circulares. b) Em 1867 o astrônomo americano Dniel Kirkwood notou diversas lacunas na continuidade do cinturão no interior das quais existem relativamente poucos asteroides. Agora sabemos que essas lacunas de Kirkwood são causadas pela atração gravitacional de Júpiter, o maior planeta do sistema solar, que completa uma volta em torno do Sol a cada 11,86 anos. Como exemplo, se o steróide possuísse um período orbital igual à metade do período de Júpiter. 5.93 anos, cada órbita estaria próxima de Júpiter e sofreria uma forte atração gravitacional deste planeta. Essa atração, atuando continuamente em órbitas vizinhas, poderia fazer alguns asteroides saírem da lacuna de Kirkwood. Use essa hipótese para determinar o raio da órbita da lacuna de Kirkwood. c)Uma de diversas outras lacunas de Kirkwood surgiu a uma distancia do Sol para a qual o período orbital é igual a 0,400 do período de Júpiter. Explique por que ocorre essa lacuna e calcule o raio dessa lacuna de Kirkood.

Passo 1

A equação da órbita circular:

T = 2 π r v = 2 π   r   r / G m T = 2 π r 3 / 2 G m T

relaciona período orbital e raio orbital para uma órbita circular.

A massa do sol é:

M = 1,99 × 10 30 k g .

Passo 2

  1. O período do asteróide é
  2. T = 2 π a 3 / 2 G M .

    Inserindo 3 × 10 11   m   para a 2,84   a n o s e 5 × 10 11   m   dá um período de 6,11   a n o s .

    Passo 3

  3. Se o período for 5,93   a n o s , então a = 4,90 × 10 11 m .
  4. Passo 4

  5. Isso acontece porque 0,4 = 2 / 5 , outra razão de números inteiros. Então, uma vez a cada 5 órbitas do asteróide e 2 órbitas de Júpiter, o asteróide está à sua distância.

Resolvendo quando T = 4,74   a n o s ,             a   =   4,22 × 10 11   m .

Passo 3

O raio da órbita Júpiter é 7,78 × 10 11   m e por Marte à 2,21 × 10 11   m . As mentiras da cidade asteroide Entre Marte e Júpiter. A massa de cerca de 3000 vezes a de Júpiter a de Marte, assim o efeito de Júpiter estão nos asteróides muito maior.

Resposta

  1. 6,11   a n o s
  2. a = 4,90 × 10 11 m
  3. a   =   4,22 × 10 11   m
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