Enunciado

Um centímetro cúbico de água tem massa de 1,00   × 10 - 3   k g .

a) Determine a massa de 1,00 m 3 de água.

b) As substâncias biológicas são 98 % água. Assuma que elas tenham a mesma densidade que a água para estimar as massas de uma célula que possui diâmetro de 1,00   m m , um rim humano e uma mosca. Modele o rim como uma esfera com raio de 4,00   c m e a mosca como um cilindro de 4,00   m m de comprimento e 2,00   m m de diâmetro.

Passo 1

a) Se 1,00   c m 3 de água pesa 1,00 × 10 - 3   k g , qual será o peso de 1,00   m 3 da mesma substância?

Bom, o prefixo c de c m 3 , ou em outras unidades de medida na matemática, indica a potência 10 - 2 .

Mas, cuidado, esse c está elevado ao cubo! Seria mais ou menos isso:

1,00 × c m 3 ≡ 1,00 × 10 - 2 m 3 ≡ 1,00 × 10 - 6 m 3

Essa é a equivalência entre c m 3 e m 3 !

Logo, 1,00   × 10 - 6 m 3 de água pesa 1,00 × 10 - 3   k g . Pra determinar a massa de 1,00   m 3 , basta uma regra de três simples:

1,00   × 10 - 6 m 3 - - - - 1,00 × 10 - 3   k g

1,00   m 3 - - - - - -   M

A massa M é calculada então assim:

M = 1,00   m 3 ∙ 1,00 × 10 - 3   k g 1,00   × 10 - 6 m 3

Cancelam-se as unidades iguais no numerador e denominador, e chegamos no resultado:

∴ M = 1,00 × 10 3   k g

Ou até:

∴ M = 1   t o n

Passo 2

b) Você deve lembrar da famosa fórmula que correlaciona densidade, massa e volume de uma substância ou de um corpo, que é a seguinte:

d = m v

Como nos pedem pra calcular a massa da célula, do rim e da mosca, isolamos m , tendo a seguinte expressão:

m = d ∙ v

Essa vai ser a formulinha que vamos usar pra calcular essas massas, considerando d fixa como d = 1,00 × 10 - 3   k g ∙ c m - 3 . Os volumes v nós precisamos calcular a partir dos dados do enunciado.

Passo 3

Pra célula, que vamos considerar como uma esfera, temos raio r c é l = 1,00   m m 2 = 0,50   m m .

Sabemos que a fórmula pro volume de uma esfera é V e s f = 4 π r 3 3 . Mas, antes de aplicar r na fórmula, precisamos ajustar a unidade dele pra c m , que é a unidade expressa na densidade.

Você vai concordar comigo que 1   m m é um décimo 1 10 de 1   c m , certo? Então o r expresso em c m vai valer r = 0,50   10 = 0,05   c m . Feita a conversão, aplicamos na fórmula pro volume da esfera:

V c é l = V e s f = 4 ∙ π ∙ 0,05   c m 3 3 ≅ 1,67 π × 10 - 4 c m 3

Pra calcular a massa da célula, agora, fica fácil. Voltamos pra fórmula do Passo 2 e aplicamos:

m c é l = 1,00 × 10 - 3   k g ∙ c m - 3 ∙ 1,67 π × 10 - 4 c m 3

∴ m c é l = 1,67 π × 10 - 7   k g

Passo 4

Seguimos exatamente o mesmo esquema que aplicamos pra célula aqui. Sendo o raio do rim r r i m = 4,00   c m , nem precisamos ajustar a unidade. Calculamos direto o volume:

∴ V r i m = V e s f = 4 ∙ π ∙ 4,00   c m 3 3 ≅ 85,3 π × c m 3

Calculamos agora a massa:

m r i m = 1,00 × 10 - 3   k g ∙ c m - 3 ∙ 85,3 π × c m 3

∴ m r i m = 8,53 π × 10 - 2   k g

Passo 5

Por fim, pra mosca, que consideramos como um cilindro de 4,00   m m de comprimento ( h ) e 2,00   m m de diâmetro ( 2 r ) de base, a gente vai ter a seguinte formulinha pro volume:

V m o s c a = V c i l = π r 2 ∙ h

Repara que as medidas do cilindro (mosca) foram dadas em m m , e precisamos passar pra c m . Como já vimos, 1   m m vale um décimo de c m . Portanto, as medidas em c m serão 0,40   c m de comprimento e 0,20   c m de diâmetro da base.

Você sabe também que o diâmetro é o dobro do raio, sendo o raio então r c i l = 0,10   c m .

Aplicamos os dados que temos e calculamos o volume da mosca:

V m o s c a = V c i l = π 0,10 2 ∙ 0,40   c m

∴ V m o s c a = V c i l = 0,004 π   c m 3

Calculamos por fim a massa da mosca:

m m o s c a = 1,00 × 10 - 3   k g ∙ c m - 3 ∙ 0,004 π   c m 3

∴ m m o s c a = 4 π × 10 - 6   k g

Resposta

a) M = 1   t o n

b) m c é l = 1,67 π × 10 - 7   k g ; m r i m = 8,53 π × 10 - 2   k g ; m m o s c a = 4 π × 10 - 6   k g

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