Enunciado

O centro da Via Láctea fica a cerca de 23000 anos-luz de distância da Terra. (a) Qual é, com oito algarismos significativos, o parâmetro de velocidade de uma espaçonave que viaja esses 23000 anos-luz (medidos no referencial da galáxia) em 30 anos (medidos no referencial da espaçonave)? (b) Qual é a distância percorrida, em anos-luz, no referencial da espaçonave?

Passo 1

De acordo com a expressão da contração dos espaços, temos que

Δ t = Δ t 0 1 - v c 2  

Na Terra, o intervalo de tempo pode ser calculado pela expressão que o relaciona com o a distância percorrida e a velocidade, da seguinte maneira:

Δ t = L v

Quando dois eventos ocorrem no mesmo ponto de um referencial inercial, o intervalo de tempo entre os eventos, medido neste referencial, é chamado de intervalo de tempo próprio ou tempo próprio. Quando o intervalo de tempo entre os mesmos eventos é medido em outro referencial , o resultado é sempre maior que o intervalo de tempo próprio.

O comprimento se relaciona com o comprimento próprio da seguinte forma:

L = L 0 1 - β 2

Passo 2

  1. Sabemos, pelo enunciado, que d = 23000   a n o s - l u z = 23000 c . O tempo gasto para percorrer essa distancia, no referencial da Terra é então

Δ t = L v = 23000 c β c = 23000 β a n o s

Por outro lado, temos que Δ t = Δ t 0 1 - v c 2 = 30 1 - β 2 a n o s

Igualando as expressões obtidas nos passos 2 e 3, temos:

23000 β = 30 1 - β 2

Isolando o parâmetro de velocidade, β :

β = 23000 23000 2 + 30 2 = 23000 529000900 = 23000 23000,01957 = 0,9999991 49 = 0,99999915

β = 0,99999915

Passo 3

De acordo com o passo 1, o comprimento se relaciona com o comprimento próprio da seguinte forma:

L = L 0 1 - β 2

Logo,

L = L 0 1 - β 2 = 23000 1 - 0,99999915 2 = 30   a n o s - l u z

Resposta

(a) O parâmetro de velocidade é β = 0,99999915 .

(b) A distância percorrida foi de L = 30   a n o s - l u z .

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