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Um certo malabarista normalmente arremessa bolas verticalmente até uma altura H . A que altura as bolas devem ser arremessadas para passarem o dobro do tempo no ar?

Passo 1

Este é um problema de lançamento vertical, onde as funções de regem este movimento são:

v t = v o - g t

y t = y o + v o t - g t 2 2

v 2 = v o 2 - 2 g ∆ y

Primeiro, é importante perceber que quando as bolas atingem a altura máxima elas possuem velocidade nula, portanto, conseguimos determinar a velocidade inicial de partida em função do tempo de subida ( t s ) usando a fórmula da velocidade, logo:

v t = v o - g t

v t s = 0 = v o - g t s

Isolando o v o :

v o = g t s

Passo 2

Agora, utilizando a equação de movimento:

y t = y o + v o t - g t 2 2

Considerando que y o = 0 , porque tomamos nosso referencial como sendo onde a bola é lançada para cima e substituindo o v o que foi encontrado no passo anterior, temos:

y t s = h m á x = g t s 2 - g t s 2 2 = g t s 2 2

Isolando o t s , temos:

t s = 2 h m á x g e q . ( 1 )

Passo 3

Para finalizar, vamos reescrever a e q . ( 1 ) para as bolas que atingem a altura H :

t s = 2 H g e q . ( 2 )

Como o problema quer a altura ( H ' ) que a bola deve atingir para ter o dobro do tempo de viagem, reescrevemos a e q . 1 com esses novos dados também:

2 t s = 2 H ' g

Substituindo o valor de t s da e q . ( 2 ) na equação acima, temos:

2 × 2 H g = 2 H ' g

Elevando os dois lados ao quadrado e cortando os elementos que aparecem dos lados, temos:

4 H = H '

Portanto, para dobrar o tempo de viagem o malabarista terá que jogar as bolas a uma altura quatro vezes maior.

Resposta

H ' = 4 H

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