Enunciado

Chama-se coeficiente de desempenho K de um refrigerador a razão Q 2 / W , onde Q 2 é a quantidade de calor removida da fonte fria (congelador) e W o trabalho fornecido pelo compressor, por ciclo de refrigeração. (a) Para um refrigerador de Carnot ideal, exprima K em função das temperaturas T 1 e T 2 das fontes quente e fria, respectivamente. (b) Exprima K em função da eficiência da máquina de Carnot obitda operando o refrigerador em sentido inverso. (c) Um dado refrigerador doméstico tem coeficiente de desempenho 40 % do ideal; o motor do compressor tem 220   W de potência e o congelador é mantido a - 13 ° C . Para uma temperatura ambiente de 27 ° C , qual é a quantidade de calor removida do congelador, em 15   m i n de funcionamento do motor? Que quantidade de gelo ela permitiria formar, partindo de água a uma temperatura próxima de 0 ° C ? O calor latente de fusão do gelo é 80   c a l / g .

Passo 1

(a) O enunciado deu a seguinte fórmula para o coeficiente de desempenho:

K = Q 2 W

O refrigerador opera realizando trabalho W para remover calor Q 2 da fonte fria. Depois toda essa energia é rejeitada na forma de calor Q 1 para a fonte quente:

Q 1 = W + Q 2

Então:

K = Q 2 W = Q 2 Q 1 - Q 2

Vamos dividir tudo por Q 2 nessa fração:

K = 1 Q 1 / Q 2 - 1

E agora, para escrever K em função das temperaturas, vamos lembrar da seguinte relação:

Q 1 Q 2 = T 1 T 2

Subtituindo na fórmula de cima:

K = 1 T 1 T 2 - 1

K = T 2 T 1 - T 2

Passo 2

(b) Se uma máquina de Carnot for feita com esse mesmo refrigerador, mas operando no sentido inverso, a sua eficiência seria dada por:

η = W Q 1

Onde W é o trabalho realizado pela máquina e Q 1 é o calor fornecido pela fonte quente.

A relação de antes continua válida:

Q 1 = W + Q 2

Porque agora estamos recebendo calor Q 1 da fonte quente, e usando isso para produzir trabalho e depois rejeitar calor Q 2 para a fonte fria.

η = W W + Q 2

1 η = W + Q 2 W = 1 + Q 2 W

Esse último termo é a definição de K que foi dada no enunciado, então:

1 η = 1 + K

K = 1 η - 1

K = 1 - η η

Passo 3

(c) Vamos começar calculando as temperaturas das fontes quente e fria nesse caso:

T 2 = - 13 ° = 260   K

T 1 = 27 ° C = 300   K

A partir disso podemos calcular o coeficiente de desempenho do refrigerador:

K = 260 300 - 260 = 6,5

Mas esse seria o coeficiente ideal. O enunciado diz que o refrigerador opera com 40 % disso, então:

K ' = 0,4 6,5 = 2,60

E com isso podemos escrever uma expressão para o calor removido do congelador:

K ' = Q 2 W         ⇒         Q 2 = W K '

E podemos reescrever esse trabalho W em função da potência P :

Q 2 = P Δ t K '

Agora vamos substituir os valores que foram dados para calcular Q 2 em um intervalo de 15   m i n = 900   s :

Q 2 = 220 900 2,6 = 5,15 × 10 5   J

Passo 4

Qual a quantidade de gelo que podemos formar com 5,15 × 10 5   J ?

Temos que usar a seguinte fórmula:

Q = m L

m = Q L

Onde L = 80   c a l / g foi dado no enunciado, e precisa ser convertido para joules por grama antes de calcularmos:

L = 80 c a l g = 80   4,2   J g = 336 J g

Agora é só substituir:

m = 5,15 × 10 5 336 ≈ 1533   g

m = 1,53   k g

Resposta

(a) O coeficiente de desempenho é K = T 2 T 1 - T 2 .

(b) A quantidade de calor removido é Q 2 = 5,15 × 10 5   J .

(c) Seria possível formar uma massa m = 1,53   k g de gelo.

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