Enunciado

Um mol de um gás ieal diatômico ( γ = 7 / 5 ) descreve o ciclo A B C D A , onde P é medido em b a r e V em l . (a) Calcule a temperatura nos vértices. (b) Calcule a eficiência de um motor térmico operando segundo esse ciclo. (c) Compare o resultado (b) com a eficiência máxima ideal associada às temperaturas extremas do ciclo.

Passo 1

(a) Vamos calcular a temperatura em cada um dos vértices utilizando a lei dos gases ideais:

P V = n R T

T = P V n R

Então, sabendo que 1   b a r = 10 5   P a e 1   l = 10 - 3   m 3 :

T A = P A V A n R = 10 5 20.10 - 3 8,31 = 241   K

T B = P B V B n R = 2   .   10 5 20.10 - 3 8,31 = 481   K

T C = P C V C n R = 2   .   10 5 3 0.10 - 3 8,31 = 721   K

T D = P D V D n R = 10 5 3 0.10 - 3 8,31 = 361   K

Passo 2

(b) Agora vamos calcular a variação da energia interna em cada uma das etapas. Para isso precisamos calcular C v :

γ = C p / C v C p = C v + R

Substituindo a segunda equação na primeira:

γ = 1 + R C v         ⇒         C v = R γ - 1

E o enunciado já deu γ = 7 / 5 , então:

C v = R 7 / 5 - 1 = 5 2 R

Agora podemos calcular Δ U :

Δ U A B = n C v Δ T A B = 1 5 8,31 2 481 - 241 = 4992   J Δ U B C = n C v Δ T B C = 1 5 8,31 2 721 - 481 = 4992   J Δ U C D = n C v Δ T C D = 1 5 8,31 2 361 - 721 = - 7488 Δ U D A = n C v Δ T D A = 1 5 8,31 2 241 - 361 = - 2496

Passo 3

E para poder calcular o calor Q trocado em cada etapa, também precisamos calcular o trabalho W realizado em cada trecho.

Em A B e C D o trabalho é nulo, porque os processos são isovolumétricos. E os outros dois são isobáricos:

W A B = 0 W B C = 2.10 5 30 - 20 . 10 - 3 = 2000   J W C D = 0 W D A = 1.10 5 20 - 30 . 10 - 3 = - 1000   J

Então o trabalho total realizado pelo gás é:

W = 2000 - 1000 = 1000   J

E agora podemos calcular o calor absorvido pelo gás em cada etapa usando a primeira lei da termodinâmica:

Q = Δ U + W

Q A B = 4992 + 0 = 4992   J Q B C = 4992 + 2000 = 6992   J Q C D = - 7448 + 0 = - 7448   J Q D A = - 2496 - 1000 = - 3496   J

Quando temos Q > 0 , isso indica que o gás está absorvendo calor. São esses valores que precisamos considerar no cálculo da eficiência, então:

Q = Q A B + Q B C = 4992 + 6992 = 11984   J

η = W Q = 1000 11984 ≈ 8,34 %

Passo 4

(c) Agora vamos calcular a eficiência máxima permitida nessa situação.

η = 1 - T F T Q

No nosso caso, a temperatura da fonte fria é T A = 241   K e a temperatura da fonte quente é T Q = 722   K :

η = 1 - 241 722 ≈ 0,667

η = 66,7 %

Resposta

(a) T A = 241   K , T B = 481   K , T C = 721   K , T D = 361   K .

(b) η = 8,3 % .

(c) η C = 66,7 % .

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