Enunciado

Sejam P, Q e M pontos alinhados pertencentes a um sólido. Calcular a velocidade e a aceleração de M em função das velocidades (respectivamente acelerações) dos pontos e respectivas distâncias.

Passo 1

Antes de começar os cálculos, vamos relembrar o que é um versor?

Versor é aquele vetor unitário que tem todos os seus eixos iguais a 1. Por exemplo, em um sistema cartesiano de 3 eixos, teremos que o vetor terá módulo igual a 1 em i, j e k!!

Agora sim, vamos iniciar as resoluções. Como queremos a velocidade e a aceleração do ponto M em relação aos outros pontos, vamos calcular a velocidade e a aceleração de M em relação a P e de Q em  relação a P, certo? Fazer isso nos resultará na totalidade em M. 

Passo 2

Agora que relembramos os princípios de um versor, vamos começar pela velocidade. Nós sabemos que a velocidade tem como base a divisão da distância andada pelo tempo em que se percorreu essa distância.

Logo, para começar, vamos encontrar a distância, que é dada pelo versor u que definiremos aqui:

u(t)=(Q(t)-P(t))/a=(M(t)-P(t))/b 

u t =   Q t - P ( t ) a = M t - P ( t ) b

Como já vimos, o versor apresenta módulo de unidade igual a 1.

O módulo, nada mais é, que a distância percorrida pelo vetor, certo?

Então, como temos que de Q a P a distância é a e de M a P a distância é b, sabemos que, então, Q-P= a e M-P= b.

Desta forma,

Q t - P ( t ) a = M t - P ( t ) b = 1 , o que confirma nossa ideia de versor. 

Passo 3

Agora que encontramos u, vamos aplicar o famoso cálculo, na física.

Quando pensamos na distância que um ponto ou um vetor percorre, ao derivá-lo, encontraremos a velocidade pela qual o mesmo percorreu.

E se derivarmos novamente, estaremos encontrando a aceleração também. 7

Logo, faremos isso com u:

d u t d t =   d d t Q t - P ( t ) a = d d t M t - P ( t ) b

Como

d u t d t = v ( t ) , temos:

v t =   v Q t - v P ( t ) a = v M t - v P ( t ) b

Assim, teremos:

v t =   b a * v Q t - v P ( t ) v M t - v P ( t )

E, fazendo as alterações necessárias encontraremos:

v t = v P t + b a * v Q t - v P ( t )

Pronto! Encontramos a velocidade!

Passo 4

Agora, derivamos essa expressão encontrada para a velocidade para encontrar a aceleração, que será:

d v t d t =   d d t v P t + b a * v Q t - v P ( t )

Resolvendo, encontramos:

a t = a P t + b a * a Q t - a P ( t )

Pronto!! Encontramos as duas expressões, para velocidade e aceleração.

Resposta

Teremos, em resumo:

v t = v P t + b a * v Q t - v P t

a t = a P t + b a * a Q t - a P ( t )

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