Enunciado

Um cilindro maciço e uniforme, de madeira, rola descendo um plano inclinado de um ângulo θ , sem deslizar. O coeficiente de atrito estático é μ . Determine (a) a aceleração do centro de massa do cilindro, (b) a força de atrito atuando sobre o cilindro e (c) o maior ângulo de inclinação para o qual o cilindro rolará sem deslizar.

Passo 1

Oláaa, querido!

Gente, só temos que pensar o seguinte: só tem três forças atuando, a normal, o peso e o atrito, e só uma delas é capaz de girar o cilindro para a frente, que é o atrito. O diagrama das forças fica assim, ó:

Repara que só o atrito pode fazer esse cilindro girar porque a linha de ação dessa força é a única que não passa pelo centro de massa do cilindro, e assim gera um torque nele.

E como o cilindro não está deslizando, apenas girando, a gente pode dizer que esse atrito é estático.

Bem, depois de perceber essas coisinhas sobre o nosso movimento, bora entrar nos itens, tudo bem?

Passo 2

a) Então, aqui a gente quer a aceleração do centro de massa do cilindro. Para achar essa bonita vamos aplicar a segunda lei de Newton nele.

Já que ele gira, podemos começar aplicando a segunda lei de Newton para a rotação:

∑ τ = I α

O único torque em ação vem da força de atrito. E como ela é perpendicular ao raio, o torque gerado é τ = f a t r , assim nossas equação fica:

f a t r = I α

E como não há deslizamento, podemos relacionar a aceleração angular com a aceleração do centro de massa assim:

a = r α → α = a r

Substituindo isso na nossa equação:

f a t r = I a r

O momento de inércia de um cilindro em relação ao seu eixo é I = m r 2 / 2 . Substituindo isso

f a t r = 1 2 m r 2 a r

Bora isolar f a t porque a gente não conhece ela (já que é força de atrito estático e por isso seu valor depende do problema)

f a t = 1 2 m r 2 a r r

f a t = 1 2 m a

Passo 3

Agora vamos aplicar a segunda lei de Newton para o eixo x :

∑ F x = m a

Nessa direção temos a componente x da força gravitacional e a força de atrito:

F g x - f a t - m a

m g s e n θ - f a t = m a

Substituindo a expressão de f a t que a gente achou:

m g s e n θ - 1 2 m a = m a

Isolando a , quem a gente quer:

3 2 a = g s e n θ

a = 2 3 g s e n θ

Passo 4

b) Queremos f a t . A gente já tem uma expressão para ela. Então vamos substituir nossa expressão de a nela.

Voltando na expressão da força de atrito, a gente vai ficar com:

f a t = 1 2 m a

Substituido:

f a t = 1 2 m 2 3 g s e n θ

f a t = 1 3 m g s e n θ

Passo 5

c) Então, cara, ele quer o maior valor de θ que vai nos dá ainda um movimento só de rotação sem deslizamento. A gente viu que que o mantém a rotação é a força de atrito estática. Então o limite para haver somente rotação é a força de atrito estático máxima:

F a t = μ s F n

E quando isso acontece, que estamos na eminência de haver deslizamento no cilindro.

Como queremos mexer com a força de atrito, precisamos achar a força normal. Pra isso vamos olhar pro eixo perpendicular e aplicar a segunda lei de Newton nele:

∑ F y = m a y

F n - F g y = 0

F n - m g cos ⁡ θ = 0

F n = m g c o s θ

Então a força de atrito máxima fica:

f a t = μ s F n

f a t = μ s m g c o s θ

Passo 6

Maaas, a gente tem uma expressão para a força de atrito:

f a t = 1 3 m g s e n θ

Igualando essa expressão a do passo anterior:

1 3 m g s e n θ = μ s m g c o s θ

Isolando quem a gente quer, o θ :

s e n θ c o s θ = 3 μ s

t g θ = 3 μ s

θ = a r c t g 3 μ s

Resposta

  1. a = 2 3 g s e n θ
  2. f a t = 1 3 m g s e n θ
  3. θ = a r c t g 3 μ s
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