Enunciado

Um cilindro é preenchido com 0,10 mol de um gás ideal à temperatura e pressão padrão, e um pistão de 1,4 kg sela o gás no cilindro com uma vedação sem atrito. A coluna de gás retida tem 2,4 m de altura. O pistão e o cilindro estão rodeados por ar, também à temperatura e pressão padrão. O pistão é liberado do repouso e começa a cair. O movimento do pistão cessa depois que as oscilações param com o pistão e o ar aprisionado em equilíbrio térmico com o ar circundante.

(a) Encontre a altura da coluna de gás.

(b) Suponha que o pistão seja empurrado para baixo abaixo da sua posição de equilíbrio por uma pequena quantidade e depois liberado. Supondo que a temperatura do gás permaneça constante, encontre a frequência de vibração do pistão.

Passo 1

(a) Seja A a área da seção transversal do cilindro. Podemos usar a lei do gás ideal para encontrar a altura do pistão em condições de equilíbrio. Em (b), podemos aplicar a segunda lei de Newton e a lei do gás ideal para uma quantidade fixa de gás para mostrar que, para pequenos deslocamentos de sua posição de equilíbrio, o pistão executa um movimento harmônico simples.

Passo 2

(a) Expresse a pressão dentro do cilindro

P d e n t r o = P a t m + m g A

Aplicando a lei dos gases ideais:

P i n = n R T V = n R T h A

Equacionando as duas expressões, temos:

P a t m + m g A = n R T h A  

Isolando h :

h = n R T A P a t m + m g = 2.4 A P a t m A P a t m + m g

= 2.4 1 + m g A P a t m

Na CNTP, 0.10 mol de um gas ocupa 2.24 L

2.4   A = 2.24 × 10 - 3 m 3

A = 9.333 × 10 - 4   m 2

Substituindo em h :

h = 2.4 1 + 1.4 ⋅ 9.81 9.333 × 10 - 4 ⋅ 101.325 ⋅ 10 3

h = 2.1   m

Passo 3

b) Vamos relacionar a frequencia de vibração do pistao com a massa

f = 1 2 π k m

Onde m   é a massa do pistão e k é a constante de proporcionalidade. Seja y o deslocamento de equilíbrio, sabemos que o somatório de forças é igual a 0.

P d e n t r o A - m g - P a t m A = 0

Entretanto, sabemos que a frequencia vai se relacionar proporcionalmente com n R T e a massa total vai ser m h 2 , logo:

f = 1 2 π n R T m h 2

Aplicando valores numéricos e considerando que a temperatura padrão no CNTP em kelvins é T = 273 K

f = 1 2 π 0,1 [ m o l ] × 8,31 J m o l K × 273 K 1,4 k g × 2,1 m 2

f = 0,96 H z

Resposta

a ) h = 2.1   m

b )   t = 0,96 H z

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