Enunciado

Um cilindro sólido não condutor, infinitamente longo, de raio a , tem densidade volumétrica não uniforme de cargas. Esta densidade varia linearmente com R , a distância perpendicular ao seu eixo de acordo com ρ R = β R onde β é uma constante. (a) Mostre que a densidade linear de carga do cilindro é dada por λ = 2 π β a 3 / 3 . (b) Determine expressões para o campo elétrico para R < a e R > a .

Passo 1

Fala ai galera. Então, aqui temos mais um caso de simetria cilíndrica. Porém, o cilindro não é uniformemente carregado, de modo que devemos aplicar a integração.

Passo 2

  1. Assim, temos que
  2. q = ∫ ρ   d V

    onde V = π r 2 h , de modo que d V = 2 π r h   d r . Logo,

    q = 2 π h ∫ ρ r   d r

    Substituindo ρ , temos

    q = 2 π h ∫ 0 a β r 2   d r = 2 π h β a 3 3

    Assim, sendo λ = q / h , temos

    λ = 2 π β a 3 3

    Passo 3

  3. Vamos utilizar a Lei de Gauss:
  • Para R < a , temos que:
  • ∮ E   d A = q i n t ε 0 E 2 π R h = λ h ε 0 E 2 π R = 2 π β R 3 3 ε 0 E = β R 2 3 ε 0

  • Para R > a , temos que:

∮ E   d A = q i n t ε 0 E 2 π R h = λ h ε 0 E 2 π R = 2 π β a 3 3 ε 0 E = β a 3 3 r ε 0

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

A Fig. 25 - 36 mostra duas cascas esféricas isolantes mantidas fixas no lugar. A casca 1 possui uma densidade superficial de carga uniforme de + 6,0μ C / m ² ² na superfície externa e um raio de 3,0c
Fluxo e cascas isolantes. Uma partícula carregada está suspensa no centro de duas cascas esféricas concêntricas muito finas, feitas de um material isolante. A F i g .25 - 37 a mostra uma seção reta do
A F i g .25 - 46 a mostra três placas de plástico de grande extensão, paralelas e uniformementecarregadas. AF i g .25 - 46 b mostra a componente x do campo elétrico em função de x . A escala do eixo v
A F i g .25 - 43 mostra pequenas partes de duas linhas de carga paralelas, muito compridas,separadas por uma distância L=8,0c m . A densidade uniforme de carga das linhas é + 6,0μ C / m para a linha 1
A Fig. 25 - 40 mostra uma seção de um tubo longo, de metal, de parede finas, com raio R=3,00 cm e carga por unidade de comprimentoλ=2,00×10 - 8 C / m . Determine o módulo E do campo elétrico a uma dis