Exercícios de Lei de Gauss – Simetrias - Lista de Exercícios Resolvida

Um fio finito muito longo de comprimento e carregado com uma carga está no eixo de um cano cilíndrico condutor descarregado de raio interno , raio externo e mesmo comprimento .

Que cargas aparecem nas superfícies interna e externa do cano?

Utilize a Lei de Gauss para calcular o vetor campo elétrico para , e ;

Suponha que você segure duas grandes folhas de plástico frente à frente, espaçadas uma da outra por , conforme mostra a figura. Atritando uma delas com lã e a outra com seda, você consegue obter, sobre a superfície de uma das folhas, uma densidade superficial uniforme de carga , e sobre a outra, outra densidade superficial uniforme de carga . Qual o vetor campo elétrico nos pontos , e ?

Determine o campo elétrico produzido por um plano infinito com uma distribuição de carga uniforme positiva por unidade de área igual à .

A figura a seguir é uma seção de uma barra condutora de raio e comprimento no interior de uma casca coaxial, de paredes finas, de raio e mesmo comprimento .

A carga da barra é ; a carga da casca é . Determine:

1. O módulo do campo elétrico a uma distância radial ;
2. A direção (para dentro ou para fora) do campo elétrico a uma distância radial ;
3. O módulo do campo elétrico a uma distância radial
4. A direção (para dentro ou para fora) do campo elétrico a uma distância radial ;
5. A carga na superfície interna da casca;
6. A carga na superfície externa da casca;

Encontre o vetor campo elétrico de uma carga pontual à uma distância dela.

Calcule a expressão para o vetor campo elétrico na região fora de uma esfera carregada com densidade volumétrica de carga :

Onde é a distância de um ponto até a origem e .

A esfera tem raio e é uma constante.

Calcule a expressão para o vetor campo elétrico na região dentro de uma esfera carregada com densidade volumétrica de carga :

A esfera tem raio .

Uma pequena esfera oca condutora, com raio interno e externo , é concêntrica com uma grande esfera oca condutora, com raio interno e raio externo , conforme a figura abaixo. A carga total sobre a esfera oca interna é igual à e a carga total sobre a esfera oca externa é igual à . Determine o módulo, direção e sentido do campo elétrico em função da distância ao centro comum para as regiões:

E qual a carga total sobre (i) a superfície interna da esfera oca pequena; (ii) a superfície externa da esfera oca pequena; (iii) a superfície interna da esfera oca grande; (iv) a superfície externa da esfera oca grande?

A figura mostra, em seção reta, duas esferas de raio , com distribuições volumétricas uniformes das cargas. O ponto está sobre a reta que liga os centros das esferas, a uma distância do centro da esfera . Se o campo elétrico no ponto é igual a zero, qual é a razão entre a carga da esfera e a carga da esfera ?

Uma placa isolante, com espessura e densidade volumétrica de carga uniforme igual a , está separada de uma outra placa, condutora, com carga total igual a zero e de espessura . As duas placas são infinitas nas direções e , conforme a figura.

Use a lei de Gauss para calcular o vetor campo elétrico produzido pela placa isolante em um ponto dentro da placa, isto é um ponto com coordenada .

Use a lei de Gauss para calcular o vetor campo elétrico produzido pela placa isolante em um ponto fora dela.

Calcule, em termos de e , a densidade superficial de cargas induzidas nas superfícies da placa condutora após o equilíbrio eletrostático ter sido atingido. Determine em todo o espaço o campo elétrico resultante devido ao isolante e ao condutor.

Um bastão cilíndrico isolante, de comprimento e raio (com ), foi carregado uniformemente em sua superfície com carga negativa desconhecida (Figura 1). Mediu-se o campo elétrico gerado a uma distância do eixo de simetria e encontrou-se o valor (em módulo).

Calcule o fluxo do campo elétrico através da superfície indicada (sombreada) na Figura 1 (altura e raio ).

Obtenha o vetor campo elétrico em função da distância ao eixo do bastão, para .

Suponha agora que uma casca cilíndrica condutora descarregada (neutra) de comprimento e raios interno e externo é colocada em volta do bastão carregado utilizando-se luva de borracha. Posiciona-se a casca com o eixo de simetria coincidindo com o eixo do bastão (concêntrico), conforme a Figura 2.

Responda, justificando:

Obtenha o valor (módulo) do campo elétrico à distância do eixo.

Quanto vale a carga na superfície interna e na superfície externa da casca cilíndrica?

Agora suponha que a casca cilíndrica condutora seja aterrada. Responda, justificando:

Quanto vale a carga na superfície interna e na superfície externa da casca cilíndrica?

Calcule o fluxo elétrico que atravessa uma superfície cilíndrica concêntrica ao sistema e de raio .

A figura mostra as seções retas de duas placas de grande extensão, paralelas, não-condutoras, positivamente carregadas, ambas com distribuição superficial de cargas .

Determine o campo elétrico em termos dos vetores unitários.

(a) Acima das placas;

(b) Entre as placas;

(c) Abaixo das placas;

Um cilindro carregado muito longo, de raio , possui uma densidade linear de carga . Determine o campo elétrico criado pelo cilindro:

Fora do mesmo, para .

Dentro do cilindro, para .

Mostre também que suas respostas coincidem na borda do cilindro, correspondente a .

Considere duas placas grandes, paralelas, a uma distância uma da outra, uma delas com densidade superficial de carga , uniforme, e a outra com densidade . Entre as duas placas paralelas é colocada uma chapa metálica de espessura , conforme mostra a figura.

Demonstre que a intensidade do campo elétrico criado por um plano infinito com densidade superficial de carga é .

Utilizando o princípio de superposição e desprezando efeitos de borda, determine o vetor campo elétrico nas regiões e .

Se a chapa metálica for retirada da região entre as placas, haverá aumento ou diminuição da energia eletrostática do sistema? Justifique a resposta.

A figura mostra uma seção reta de uma placa não-condutora muito extensa com uma espessura e uma densidade volumétrica de cargas uniforme .

A origem do eixo está no centro da placa.

Determine o módulo do campo elétrico em:

1. ;
2. ;
3. ;
4. ;

Uma esfera metálica maciça de raio é concentricamente circundada por uma casca esférica metálica com raios interno e externo , como mostrado na figura abaixo.

O fluxo elétrico através de uma superfície esférica gaussiana de raio vale . Sabendo que a esfera maciça possui uma carga e considerando que e :

Calcule, utilizando a Lei de Gauss, a distribuição das cargas nas superfícies externa e interna da casca esférica. Qual é o valor da carga líquida da casca? Justifique as afirmações e os cálculos.

Calcule o valor do módulo do campo elétrico na superfície da esfera maciça e na superfície externa da casca.

Considere agora que a casca esférica metálica é substituída por uma casca esférica isolante com e (desenho abaixo). A casca isolante é carregada uniformemente com uma carga igual ao valor da carga líquida da casca metálica anterior.

Calcule o valor do fluxo elétrico através de uma superfície gaussiana esférica de raio .

Um bastão cilíndrico isolante, de comprimento e raio (com ), foi carregado uniformemente em sua superfície com carga negativa desconhecida (Figura 1). Mediu-se o campo elétrico gerado a uma distância do eixo de simetria e encontrou-se o valor (em módulo).

Calcule o fluxo do campo elétrico através da superfície indicada (sombreada) na Figura 1 (altura e raio ).

Obtenha o vetor campo elétrico em função da distância ao eixo do bastão, para .

Suponha agora que uma casca cilíndrica condutora descarregada (neutra) de comprimento e raios interno e externo é colocada em volta do bastão carregado utilizando-se luva de borracha. Posiciona-se a casca com o eixo de simetria coincidindo com o eixo do bastão (concêntrico), conforme a Figura 2.

Responda, justificando:

Obtenha o valor (módulo) do campo elétrico à distância do eixo.

Quanto vale a carga na superfície interna e na superfície externa da casca cilíndrica?

Agora suponha que a casca cilíndrica condutora seja aterrada. Responda, justificando:

Quanto vale a carga na superfície interna e na superfície externa da casca cilíndrica?

Calcule o fluxo elétrico que atravessa uma superfície cilíndrica concêntrica ao sistema e de raio .

(Capítulo 23.4 – Exercício 11) A Fig. 23-31 mostra uma superfície gaussiana com a forma de um cubo de 2,00 m de aresta, com um vértice no ponto x1 = 5,00 m, y1 = 4,00 m. O cubo está imerso em um campo elétrico dado por, com y em metros. Qual é a carga total contida no cubo?

(Capítulo 23.4 – Exercício 8) Quando um chuveiro é aberto em um banheiro fechado, os respingos de água no piso do boxe podem encher o ar de íons negativos e produzir um campo elétrico no ar de até 1000 N/C. Considere um banheiro de dimensões 2,5 m X 3,0 m X 2,0 m. Suponha que no teto, no piso e nas quatro paredes o campo elétrico no ar é perpendicular à superfície e possui um módulo uniforme de 600 N/C. Suponha também que o teto, o piso e as paredes formam uma superfície gaussiana que envolve o ar do banheiro. Determine (a) a densidade volumétrica de cargas ρ e (b) o número de cargas elementares e em excesso por metro cúbico de ar.

Considere duas placas finas, planas, infinitas, situadas nos planos cartesianos e , com densidades superficiais de carga iguais a e , respectivamente, onde . Assinale a opção que indica as expressões corretas para o vetor campo elétrico nas regiões

1. , ,
2. , ,
3. ,,
4. , ,
5. , ,

Um plano infinito, paralelo ao plano , está localizada em e foi carregada com uma densidade de carga superficial (uniforme) de . Um segundo plano infinito, também paralelo ao plano situa-se em e foi carregado com uma densidade superficial de carga de . Qual é o campo elétrico devido a esses dois planos na origem? (onde é o versor unitário na direção .)

Uma placa isolante, infinita e de espessura está posicionada de forma que seu plano médio coincida com o plano , como mostrado na figura abaixo.

Ela está carregada com uma densidade volumétrica de carga constante e positiva.

Utilizando a lei de Gauss, determine o campo elétrico (módulo, direção e sentido) na região externa à placa, ou seja, .

Utilizando a lei de Gauss, determine o campo elétrico (módulo, direção e sentido) na região interna à placa, ou seja, .

Mostre que o resultado do item é equivalente ao campo produzido por um plano infinito uniformemente carregado com uma densidade superficial de carga . Expresse o valor de em termos dos parâmetros do problema e interprete o resultado.

Próximo a um plano (infinito) , com densidade superficial de carga , temos três sistemas, todos com a mesma carga elétrica (não nula):

uma partícula (pontual);

um sólido uniformemente carregado;

uma chapa bidimensional, também uniformemente carregada;

Assinale a opção que melhor indica a relação entre os módulos das forças elétricas devidas ao plano sobre cada um dos sistemas.

.

.

.

.

.

Um cilindro circular, muito longo, possui uma densidade volumar de carga elétrica estacionária, mas não uniforme , onde e é a usual coordenada radial, medida a partir do eixo de simetria do cilindro.

Envolvendo tal cilindro, temos uma casca cilíndrica circular espessa, coaxial, também muito longa, de raios interno e externo , condutora e neutra.

Determine a carga por unidade de comprimento axial, no cilindro interno.

Determine o campo elétrico em um ponto genérico dentro do cilindro interno, com coordenada radial .

Determine o campo elétrico em um ponto genérico na região entre os dois cilindros, com coordenada radial .

Determine o campo elétrico em um ponto genérico dentro da casca condutora, com coordenada radial .

Determine o campo elétrico em um ponto genérico na região exterior aos dois cilindros, com coordenada radial .

Seja uma região R delimitada por uma superfície fechada . Tal região possui uma densidade volumar de carga não-uniforme e uma carga total . A partir da lei de Gauss, pode-se dizer que

Se , o campo elétrico é nulo no exterior de .

Além de , é necessário que para que o campo elétrico seja nulo no exterior de .

Se , o fluxo de campo elétrico sobre é nulo.

Além de , é necessário que para que o fluxo de campo elétrico seja nulo em .

Nenhuma das opções anteriores.

Um plano dielétrico possui densidade superficial de carga constante (estacionária e uniforme) . Coloca-se, então, a uma distância desse plano, uma placa condutora neutra , de espessura e transversalmente infinita, conforme mostra a figura abaixo.

Determine (com justificativas!):

o módulo, a direção e o sentido do campo elétrico produzido apenas pelo plano , para .

o campo no interior da placa condutora.

as densidades de carga induzidas e na placa condutora.

o módulo, a direção e o sentido do campo elétrico na região .

A figura abaixo mostra uma esfera não condutora de raio com uma carga uniformemente distribuída. Esta esfera é concêntrica a uma casca esférica condutora de raio interno e raio externo . A casca esférica possui uma carga em excesso de .

Determine o campo elétrico :

No interior da esfera, ;

Entre a esfera e a casca esférica, ;

Dentro da casca;

Fora da casca, ;

Que cargas surgem sobre as superfícies interna e externa da casca esférica?

Considere duas placas grandes, paralelas, a uma distância uma da outra, uma delas com densidade superficial de carga , uniforme, e a outra com densidade . Entre as duas placas paralelas é colocada uma chapa metálica de espessura , conforme mostra a figura.

Demonstre que a intensidade do campo elétrico criado por um plano infinito com densidade superficial de carga é .

Utilizando o princípio de superposição e desprezando efeitos de borda, determine o vetor campo elétrico nas regiões e .

Se a chapa metálica for retirada da região entre as placas, haverá aumento ou diminuição da energia eletrostática do sistema? Justifique a resposta.

Um cabo coaxial muito longo, de comprimento , é formado por um condutor cilíndrico de raio e por uma casca condutora cilíndrica de raio , conforme ilustrado na figura abaixo. Pelo condutor interno flui uma corrente I no sentido positivo de z positivo e pela casca externa flui uma corrente no sentido de negativo.

1. Calcule o vetor campo magnético na região
2. Calcule o fluxo do campo magnético na superfície delimitada pelos pontos ABCD, onde A = (), B = (), C = (), e D = (),
3. Calcule ao longo do caminho aberto EF (com a orientação de E para F), onde E = () e F = ().

Uma placa condutora neutra, em equilíbrio eletroestático, quadrada, de lado e espessura , tal que , é colocada a uma distância de um plano de cargas também quadrado de lado , com densidade superficial de cargas dada por (, como mostrado na figura abaixo.

Quais são o módulo do campo elétrico no ponto localizado entre a placa e o plano, e a densidade superficial de cargas , no ponto , sobre a superfície da placa que fica mais próxima do plano?

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

Um fio infinito, isolante, com densidade linear de carga uniforme , é colocado sobre uma placa infinita, isolante, com densidade superficial de carga uniforme .

Utiliza-se um sistema de coordenadas cartesianas tal que o fio está ao longo do eixo e a

placa se extende no plano , conforme a figura.

Calcule o vetor campo elétrico produzido pela placa em todo o espaço.

Calcule o vetor campo elétrico produzido pelo fio em todo o espaço.

Determine os pontos do espaço onde a força que atua sobre uma partícula de carga Q é nula.

Seja um fio isolante fino (que pode ser considerado reto e infinito) carregado com uma densidade linear de carga uniforme . Este fio está colocado paralelamente e concentricamente com um cilindro condutor (também infinito), de raio interno e raio externo , como mostra a figura 1 abaixo. O cilindro condutor possui, inicialmente, uma densidade linear de carga uniforme .

1. Calcule as densidades superficiais de carga e , respectivamente, nas superfícies interna e externa do cilindro, considerando que o equilíbrio eletrostático foi atingido.
2. Calcule o campo elétrico nas regiões , e .

Agora suponha o cilindro anterior seja substituído por um cilindro isolante, com dimensões idênticas e com exatamente a mesma distribuição de cargas que nos itens a) e b). O mesmo fio usado anteriormente é, então, deslocado ao longo do eixo , de modo que seu centro se encontra agora em , como mostrado na figura 2 abaixo.

c) Calcule o campo elétrico no ponto .

Uma esfera maciça isolante de raio está positivamente carregada. A densidade de carga volumétrica uniforme é dada por . O campo elétrico dentro da esfera vale:

1. , apontando radialmente para fora com relação ao centro da esfera.
2. , apontando radialmente para dentro com relação ao centro da esfera.
3. , apontando radialmente para fora com relação ao centro da esfera.
4. , apontando radialmente para dentro com relação ao centro da esfera.
5. , apontando radialmente para fora com relação ao centro da esfera

O gráfico da figura mostra a intensidade do campo elétrico como uma função da distância a partir do centro para um par de esferas concêntricas e uniformemente carregadas.

Qual das seguintes situações o gráfico pode representar?

Uma esfera condutora carregada positivamente dentro de uma casca esférica condutora carregada positivamente.

Uma esfera condutora carregada positivamente dentro de uma casca esférica condutora descarregada.

Uma esfera sólida não condutora, carregado uniformemente em todo o seu volume, dentro de uma casca esférica condutora carregada positivamente.

Uma casca esférica de parede fina carregada positivamente dentro de uma casca esférica não condutora carregada positivamente em todo o seu volume.

Uma casca esférica de parede fina carregada positivamente, não condutora, dentro de outra casca esférica não condutora de parede fina carregada positivamente.

Sobre a lei de Gauss e sua aplicação, considere as afirmativas abaixo:

A lei de Gauss pode sempre ser usada para o cálculo do fluxo do campo elétrico de qualquer distribuição de cargas;

A lei de Gauss sempre permite a determinação de uma expressão analítica para o campo elétrico produzido por qualquer distribuição de cargas;

Partículas carregadas localizadas em uma região exterior a uma superfície fechada não contribuem para o fluxo de campo elétrico através dessa superfície, mas contribuem para o campo elétrico em pontos sobre a mesma.

São VERDADEIRAS as afirmativas:

e

e

e

I, II e III

Nenhuma delas.

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(a)