Lista de Exercícios Resolvidos de Lei de Gauss – Simetrias

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Determine o campo elétrico produzido por um plano infinito com uma distribuição de carga uniforme positiva por unidade de área igual à σ .

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Um fio finito muito longo de comprimento L e carregado com uma carga - Q está no eixo de um cano cilíndrico condutor descarregado de raio interno a , raio externo b e mesmo comprimento L .

a ) Que cargas aparecem nas superfícies interna e externa do cano?

b ) Utilize a Lei de Gauss para calcular o vetor campo elétrico E → r para r < a , a < r < b e r > b ;

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A figura a seguir é uma seção de uma barra condutora de raio R 1 = 1,30   mm e comprimento L = 11,00   m no interior de uma casca coaxial, de paredes finas, de raio R 2 = 10   R 1 e mesmo comprimento L .

A carga da barra é Q 1 = + 3,40 × 10 - 12   C ; a carga da casca é Q 2 = - 2,00   Q 1 . Determine:

  1. O módulo do campo elétrico E a uma distância radial r = 2,00   R 2 ;
  2. A direção (para dentro ou para fora) do campo elétrico a uma distância radial r = 2,00   R 2 ;
  3. O módulo do campo elétrico E a uma distância radial r = 5,00   R 1 ;
  4. A direção (para dentro ou para fora) do campo elétrico a uma distância radial r = 5,00   R 1 ;
  5. A carga na superfície interna da casca;
  6. A carga na superfície externa da casca;

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Encontre o vetor campo elétrico de uma carga pontual q à uma distância r dela.

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Calcule a expressão para o vetor campo elétrico na região fora de uma esfera carregada com densidade volumétrica de carga ρ :

ρ r = k r 2

Onde r é a distância de um ponto até a origem e 0 < r ≤ R .

A esfera tem raio R e k é uma constante.

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Calcule a expressão para o vetor campo elétrico na região dentro de uma esfera carregada com densidade volumétrica de carga ρ :

ρ r = r 2

A esfera tem raio R .

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Uma pequena esfera oca condutora, com raio interno a e externo b , é concêntrica com uma grande esfera oca condutora, com raio interno c e raio externo d , conforme a figura abaixo. A carga total sobre a esfera oca interna é igual à 2 q e a carga total sobre a esfera oca externa é igual à 4 q . Determine o módulo, direção e sentido do campo elétrico em função da distância r ao centro comum para as regiões:

  • r < a
  • a < r < b
  • b < r < c
  • c < r < d
  • d < r

E qual a carga total sobre (i) a superfície interna da esfera oca pequena; (ii) a superfície externa da esfera oca pequena; (iii) a superfície interna da esfera oca grande; (iv) a superfície externa da esfera oca grande?

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A figura mostra, em seção reta, duas esferas de raio R , com distribuições volumétricas uniformes das cargas. O ponto P está sobre a reta que liga os centros das esferas, a uma distância R 2 do centro da esfera 1 . Se o campo elétrico no ponto P é igual a zero, qual é a razão q 2 q 1 entre a carga da esfera 2 e a carga da esfera 1 ?

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Uma placa isolante, com espessura 2 a e densidade volumétrica de carga uniforme igual a ρ > 0 , está separada de uma outra placa, condutora, com carga total igual a zero e de espessura a . As duas placas são infinitas nas direções y e z , conforme a figura.

a ) Use a lei de Gauss para calcular o vetor campo elétrico produzido pela placa isolante em um ponto dentro da placa, isto é um ponto com coordenada x < a .

b ) Use a lei de Gauss para calcular o vetor campo elétrico produzido pela placa isolante em um ponto fora dela.

c ) Calcule, em termos de ρ e a , a densidade superficial de cargas induzidas nas superfícies da placa condutora após o equilíbrio eletrostático ter sido atingido. Determine em todo o espaço o campo elétrico resultante devido ao isolante e ao condutor.

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Um bastão cilíndrico isolante, de comprimento L e raio R (com L   > >   R ), foi carregado uniformemente em sua superfície com carga negativa desconhecida (Figura 1). Mediu-se o campo elétrico gerado a uma distância 3 R do eixo de simetria e encontrou-se o valor E 1 (em módulo).

a ) Calcule o fluxo do campo elétrico através da superfície indicada (sombreada) na Figura 1 (altura h e raio 3 R ).

b ) Obtenha o vetor campo elétrico em função da distância r ao eixo do bastão, para r > R .

Suponha agora que uma casca cilíndrica condutora descarregada (neutra) de comprimento L e raios interno 2 R e externo 4 R é colocada em volta do bastão carregado utilizando-se luva de borracha. Posiciona-se a casca com o eixo de simetria coincidindo com o eixo do bastão (concêntrico), conforme a Figura 2.

Responda, justificando:

c ) Obtenha o valor (módulo) do campo elétrico à distância 3 R do eixo.

d ) Quanto vale a carga na superfície interna e na superfície externa da casca cilíndrica?

Agora suponha que a casca cilíndrica condutora seja aterrada. Responda, justificando:

e ) Quanto vale a carga na superfície interna e na superfície externa da casca cilíndrica?

f ) Calcule o fluxo elétrico que atravessa uma superfície cilíndrica concêntrica ao sistema e de raio r = 9 2 R .

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Suponha que você segure duas grandes folhas de plástico frente à frente, espaçadas uma da outra por d , conforme mostra a figura. Atritando uma delas com lã e a outra com seda, você consegue obter, sobre a superfície de uma das folhas, uma densidade superficial uniforme de carga η 1 = - η 0 , e sobre a outra, outra densidade superficial uniforme de carga η 2 = + η 0 . Qual o vetor campo elétrico nos pontos 1 , 2 e 3 ?

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A figura mostra as seções retas de duas placas de grande extensão, paralelas, não-condutoras, positivamente carregadas, ambas com distribuição superficial de cargas σ = 1,77.10 - 22 C m 2 .

Determine o campo elétrico E → em termos dos vetores unitários.

(a) Acima das placas;

(b) Entre as placas;

(c) Abaixo das placas;

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Um cilindro carregado muito longo, de raio R , possui uma densidade linear de carga λ . Determine o campo elétrico criado pelo cilindro:

a ) Fora do mesmo, para r ≥ R .

b ) Dentro do cilindro, para r ≤ R .

c ) Mostre também que suas respostas coincidem na borda do cilindro, correspondente a r = R .

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Considere duas placas grandes, paralelas, a uma distância d uma da outra, uma delas com densidade superficial de carga σ > 0 , uniforme, e a outra com densidade - σ . Entre as duas placas paralelas é colocada uma chapa metálica de espessura e < d , conforme mostra a figura.

a ) Demonstre que a intensidade do campo elétrico criado por um plano infinito com densidade superficial de carga σ é E = σ / ( 2 ϵ 0 ) .

b ) Utilizando o princípio de superposição e desprezando efeitos de borda, determine o vetor campo elétrico nas regiões 1,2 , 3,4 e 5 .

c ) Se a chapa metálica for retirada da região entre as placas, haverá aumento ou diminuição da energia eletrostática do sistema? Justifique a resposta.

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A figura mostra uma seção reta de uma placa não-condutora muito extensa com uma espessura d = 9,40   m m e uma densidade volumétrica de cargas uniforme ρ = 5,8   f C / m 3 .

A origem do eixo x está no centro da placa.

Determine o módulo do campo elétrico em:

  1. x = 0 ;
  2. x = 2,00   m m ;
  3. x = 4,70   m m ;
  4. x = 26,0   m m ;

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Uma esfera metálica maciça de raio R 1 = 1 m é concentricamente circundada por uma casca esférica metálica com raios interno R 2 = 3 m e externo R 3 = 4 m , como mostrado na figura abaixo.

O fluxo elétrico ϕ através de uma superfície esférica gaussiana de raio r = 6 m vale ϕ = 6 × 10 2   N m 2 / C . Sabendo que a esfera maciça possui uma carga Q 1 = 4   n C e considerando que ϵ 0 = 1 × 10 - 11   C 2 / N m 2 e k = 9 × 10 9   N m 2 / C 2 :

a ) Calcule, utilizando a Lei de Gauss, a distribuição das cargas nas superfícies externa e interna da casca esférica. Qual é o valor da carga líquida da casca? Justifique as afirmações e os cálculos.

b ) Calcule o valor do módulo do campo elétrico na superfície da esfera maciça e na superfície externa da casca.

Considere agora que a casca esférica metálica é substituída por uma casca esférica isolante com R 2 = R 1 = 1 m e R 3 =   4 m (desenho abaixo). A casca isolante é carregada uniformemente com uma carga Q igual ao valor da carga líquida da casca metálica anterior.

c ) Calcule o valor do fluxo elétrico ϕ através de uma superfície gaussiana esférica de raio r = R 3 2 .

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Um bastão cilíndrico isolante, de comprimento L e raio R (com L   > >   R ), foi carregado uniformemente em sua superfície com carga negativa desconhecida (Figura 1). Mediu-se o campo elétrico gerado a uma distância 3 R do eixo de simetria e encontrou-se o valor E 1 (em módulo).

a ) Calcule o fluxo do campo elétrico através da superfície indicada (sombreada) na Figura 1 (altura h e raio 3 R ).

b ) Obtenha o vetor campo elétrico em função da distância r ao eixo do bastão, para r > R .

Suponha agora que uma casca cilíndrica condutora descarregada (neutra) de comprimento L e raios interno 2 R e externo 4 R é colocada em volta do bastão carregado utilizando-se luva de borracha. Posiciona-se a casca com o eixo de simetria coincidindo com o eixo do bastão (concêntrico), conforme a Figura 2.

Responda, justificando:

c ) Obtenha o valor (módulo) do campo elétrico à distância 3 R do eixo.

d ) Quanto vale a carga na superfície interna e na superfície externa da casca cilíndrica?

Agora suponha que a casca cilíndrica condutora seja aterrada. Responda, justificando:

e ) Quanto vale a carga na superfície interna e na superfície externa da casca cilíndrica?

f ) Calcule o fluxo elétrico que atravessa uma superfície cilíndrica concêntrica ao sistema e de raio r = 9 2 R .

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Uma carga positiva Q é distribuída uniformemente pelo volume de cada uma de duas esferas isolantes de raio R . Como mostra a figura, uma das esferas está centrada na origem e a outra está centrada em x = 2 R .

Encontre o vetor campo elétrico resultante devido a essas esferas nos seguintes pontos:

a ) P 1 de coordenadas x ,   y = 0 ,   0 ;

b ) P 2 de coordenadas x ,   y = R / 2 ,   0 ;

c ) P 3 de coordenadas x ,   y = 0 ,   R ;

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O valor do módulo do campo elétrico presente na superfície de uma esfera condutora de raio R = 5   c m , mostrada na figura abaixo, é igual a 100   N / C . O campo elétrico aponta para o interior da esfera.

a ) Calcule a carga resultante Q na superfície da esfera (deixe o resultado em função de π e ε 0 ).

Considere agora que um anel isolante uniformemente carregado com carga total igual a - Q é colocado numa distância d d > R do centro da esfera como indicado na figura acima (o anel é visto de perfil).

b ) Sabendo que o raio do anel é r = 3 d , calcule o vetor campo elétrico resultante no ponto P de coordenada x = 2 d (deixe o resultado em função de d ).

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Para uma casca esférica condutora, de raio interno a e raio externo b , com centro no ponto P e inicialmente neutra, transfere-se uma carga Q . Em seguida, uma partícula (pontual) de carga 9 q é colocada no ponto P . Quais são as expressões corretas para as densidades superficiais de carga sobre as superfícies interna e externa da casca condutora, nessa ordem?

  1. σ i n t = ( Q - 9 q ) / ( 4 π a 2 ) e σ e x t = ( Q + 9 q ) / ( 4 π b 2 )
  2. σ i n t = 9 q / ( 4 π a 2 ) e σ e x t = ( Q - 9 q ) / ( 4 π b 2 )
  3. σ i n t = - 9 q / ( 4 π a 2 ) e σ e x t = ( Q + 9 q ) / ( 4 π b 2 )
  4. σ i n t = - 9 q / [ 4 π b - a 2 ] e σ e x t = ( Q + 9 q ) / ( 4 π b 2 )
  5. σ i n t = ( Q + 9 q ) / ( 4 π a 2 ) e σ e x t = ( Q - 9 q ) / ( 4 π b 2 )
  6. σ i n t = ( Q - 9 q ) / ( 4 π a 2 ) e σ e x t = - 9 q / ( 4 π b 2 )
  7. σ i n t = - 9 q / ( 4 π a 2 ) e σ e x t = Q / ( 4 π b 2 )

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Considere duas placas finas, planas, infinitas, situadas nos planos cartesianos z = 0 e z = L > 0 , com densidades superficiais de carga iguais a – σ e 2 σ , respectivamente, onde σ = c o n s t . Assinale a opção que indica as expressões corretas para o vetor campo elétrico nas regiões

  1. z < 0
  2. 0 < z < L
  3. z > L
  1. 0 , σ / ϵ 0 z ^ , 0
  2. 0 , - ( σ / ϵ 0 ) z ^ , 0
  3. [ σ / ( 2 ϵ 0 ) ] z ^ , [ 3 σ / ( 2 ϵ 0 ) ] z ^ , - [ σ / ( 2 ϵ 0 ) ] z ^
  4. - ( σ / ϵ 0 ) z ^ , - ( 3 σ / ϵ 0 ) z ^ , ( σ / ϵ 0 ) z ^
  5. - [ σ / ( 2 ϵ 0 ) ] z ^ , [ - 3 σ / ( 2 ϵ 0 ) ] z ^ , [ σ / ( 2 ϵ 0 ) ] z ^

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Uma casca cilíndrica circular muito longa (infinita), de raio interno a e raio externo b , está uniformemente carregada, com uma densidade volumar ρ constante.

  1. Determine a sua carga por unidade de comprimento (axial);
  2. Determine o vetor campo elétrico para um ponto arbitrário na região r > b ;
  3. Determine o vetor campo elétrico para um ponto arbitrário na região a < r < b ;
  4. Determine o vetor campo elétrico para um ponto arbitrário na região r < a .

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Uma esfera isolante com carga Q uniformemente distribuída é envolta por uma casca esférica, concêntrica, condutora, e de carga q e , com raio interno a e raio externo b ( b > a ). A densidade superficial de carga na parede interna da casca condutora vale:

  1. 0
  2. - Q 4 π a 2
  3. Q 4 π a 2
  4. - Q 4 π b 2
  5. Q 4 π b 2
  6. Q + q e 4 π a 2
  7. Q + q e 4 π b 2

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Uma placa isolante, infinita e de espessura 2 d está posicionada de forma que seu plano médio coincida com o plano X Y , como mostrado na figura abaixo.

Ela está carregada com uma densidade volumétrica de carga constante ρ e positiva.

a Utilizando a lei de Gauss, determine o campo elétrico (módulo, direção e sentido) na região externa à placa, ou seja, z ≥ d .

b Utilizando a lei de Gauss, determine o campo elétrico (módulo, direção e sentido) na região interna à placa, ou seja, z < d .

c Mostre que o resultado do item a é equivalente ao campo produzido por um plano infinito uniformemente carregado com uma densidade superficial de carga σ . Expresse o valor de σ em termos dos parâmetros do problema e interprete o resultado.

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Próximo a um plano (infinito) P , com densidade superficial de carga σ = c o n s t ≠ 0 , temos três sistemas, todos com a mesma carga elétrica (não nula):

I uma partícula (pontual);

I I um sólido uniformemente carregado;

I I I uma chapa bidimensional, também uniformemente carregada;

Assinale a opção que melhor indica a relação entre os módulos das forças elétricas devidas ao plano sobre cada um dos sistemas.

a F I = F I I = F I I I .

b F I > F I I > F I I I .

c F I I > F I I I > F I .

d F I < F I I < F I I I .

e F I > F I I > F I I I .

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Um cilindro circular, muito longo, possui uma densidade volumar de carga elétrica estacionária, mas não uniforme ρ ( r ) = A / r , onde A = c o n s t e r é a usual coordenada radial, medida a partir do eixo de simetria do cilindro.

Envolvendo tal cilindro, temos uma casca cilíndrica circular espessa, coaxial, também muito longa, de raios interno b e externo c , condutora e neutra.

a Determine a carga por unidade de comprimento axial, no cilindro interno.

b Determine o campo elétrico em um ponto genérico dentro do cilindro interno, com coordenada radial 0 ≤ r ≤   a .

c Determine o campo elétrico em um ponto genérico na região entre os dois cilindros, com coordenada radial a ≤ r < b .

d Determine o campo elétrico em um ponto genérico dentro da casca condutora, com coordenada radial b < r < c .

e Determine o campo elétrico em um ponto genérico na região exterior aos dois cilindros, com coordenada radial c < r < ∞ .

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Seja uma região R delimitada por uma superfície fechada S . Tal região possui uma densidade volumar de carga não-uniforme ρ r → e uma carga total Q . A partir da lei de Gauss, pode-se dizer que

a Se Q = 0 , o campo elétrico é nulo no exterior de R .

b Além de Q = 0 , é necessário que ρ r → = 0 para que o campo elétrico seja nulo no exterior de R .

c Se Q = 0 , o fluxo de campo elétrico sobre S é nulo.

d Além de Q = 0 , é necessário que ρ r → = 0 para que o fluxo de campo elétrico seja nulo em S .

e Nenhuma das opções anteriores.

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Um plano dielétrico P 1 possui densidade superficial de carga constante (estacionária e uniforme) σ > 0 . Coloca-se, então, a uma distância 2 d desse plano, uma placa condutora neutra P 2 , de espessura d e transversalmente infinita, conforme mostra a figura abaixo.

Determine (com justificativas!):

a o módulo, a direção e o sentido do campo elétrico E → 1 produzido apenas pelo plano P 1 , para x > 0 .

b o campo no interior da placa condutora.

c as densidades de carga induzidas σ 1 e σ 2 na placa condutora.

d o módulo, a direção e o sentido do campo elétrico E → 0 na região 0 < x < 2 d .

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A figura abaixo mostra uma esfera não condutora de raio a com uma carga - Q uniformemente distribuída. Esta esfera é concêntrica a uma casca esférica condutora de raio interno b e raio externo c . A casca esférica possui uma carga em excesso de + 3 Q .

Determine o campo elétrico E → r → :

a ) No interior da esfera, r < a ;

b ) Entre a esfera e a casca esférica, a < r < b ;

c ) Dentro da casca;

d ) Fora da casca, r > c ;

e ) Que cargas surgem sobre as superfícies interna e externa da casca esférica?

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Uma casca esférica de raio R 1 tem uma carga total q 1 , uniformemente distribuída em sua superfície. Uma segunda casca esférica de raio R 2 , concêntrica com a primeira tem carga q 2 , também uniformemente distribuída em sua superfície.

a ) Utilize a Lei de Gauss para determinar o vetor campo elétrico nas regiões onde: r < R 1 , R 1 < r < R 2 e r > R 2 ;

b ) Qual seria a relação entre as cargas q 1 / q 2 e seus sinais relativos para que o campo elétrico fosse nulo para r > R 2 ?

c ) Esquematize as linhas de forças de campo elétrico para a situação b quando a carga q 1 é positiva;

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Um fio fino, retilíneo e finito de comprimento L está uniformemente carregado com uma carga total Q . Desenha-se então uma superfície fechada S na forma de um cilindro reto de raio R e comprimento L , como mostrado na figura abaixo. O cilindro é posicionado de forma que seu eixo coincida com o eixo do fio e os centros de suas tampas toquem as extremidades do fio.

  1. O campo eletrostático produzido pelo fio é perpendicular a todos os pontos da superfície lateral do cilindro? Justifique.
  2. O campo eletrostático produzido pelo fio tem a mesma intensidade sobre todos os pontos da superfície lateral do cilindro? Justifique.
  3. É possível utilizar a lei de Gauss em conjunto com a superfície S para se obter uma expressão para o campo eletrostático produzido pelo fio em todo o espaço? Justifique.

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Considere duas placas grandes, paralelas, a uma distância d uma da outra, uma delas com densidade superficial de carga σ > 0 , uniforme, e a outra com densidade - σ . Entre as duas placas paralelas é colocada uma chapa metálica de espessura e < d , conforme mostra a figura.

a ) Demonstre que a intensidade do campo elétrico criado por um plano infinito com densidade superficial de carga σ é E = σ / ( 2 ϵ 0 ) .

b ) Utilizando o princípio de superposição e desprezando efeitos de borda, determine o vetor campo elétrico nas regiões 1 , 2,3 , 4 e 5 .

c ) Se a chapa metálica for retirada da região entre as placas, haverá aumento ou diminuição da energia eletrostática do sistema? Justifique a resposta.

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Uma casca esférica condutora de raio interno r 1 e raio externo r 2 está carregada com carga elétrica positiva Q . No centro da casca, na cavidade interna, há uma carga puntiforme q .

a ) Determine a densidade superficial de carga σ 1 na superfície interna do condutor.

b ) Calcule o campo elétrico na região externa do condutor.

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Um cilindro circular muito longo de raio a , isolante, com densidade volumétrica uniforme de cargas iguais a ρ > 0 , é concêntrico a uma camada cilíndrica condutora de raio interno b e raio externo c com carga total zero.

O campo elétrico no ponto C imediatamente fora do condutor vale E 1 i → .

Nos itens abaixo despreze o campo elétrico e as cargas nas extremidades do cilindro e da camada cilíndrica.

  1. Calcule o campo elétrico para r < a e b < r < c .
  2. Calcule o campo elétrico para r > c .
  3. Calcule as densidades superficiais de carga σ c e σ b nas superfícies externa e interna da camada cilíndrica condutora em função de E 1 , ϵ 0 , b e c .

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Uma camada esférica condutora neutra tem raio interno a e raio externo b . No centro da camada, na cavidade interna, há uma carga puntiforme q > 0 .

  1. Usando a lei de Gauss e propriedades dos condutores em equilíbrio eletrostático determine as densidades superficiais de carga σ a e σ b nas superfícies interna e externa da camada esférica.
  2. Calcule o vetor campo elétrico em todo o espaço.

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Uma placa isolante, com espessura 2 a e densidade volumétrica de carga uniforme igual a ρ > 0 , está separada de uma outra placa, condutora, com carga total igual a zero e de espessura a . As duas placas são infinitas nas direções y e z , conforme a figura.

a ) Use a lei de Gauss para calcular o vetor campo elétrico produzido pela placa isolante em um ponto dentro da placa, isto é um ponto com coordenada x < a .

b ) Use a lei de Gauss para calcular o vetor campo elétrico produzido pela placa isolante em um ponto fora dela.

c ) Calcule, em termos de ρ e a , a densidade superficial de cargas induzidas nas superfícies da placa condutora após o equilíbrio eletrostático ter sido atingido. Determine em todo o espaço o campo elétrico resultante devido ao isolante e ao condutor.

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Uma distribuição de cargas, esfericamente simétrica, tem densidade volumétrica

ρ r = ρ 0 r R r ≤ R 0 r > R

onde ρ 0 é uma constante positiva.

a ) Calcule a carga Q r contida em uma esfera de raio r concêntrica com a distribuição de carga. Calcule a carga total da distribuição.

b ) Calcule o vetor campo elétrico para r < R .

c ) Calcule o vetor campo elétrico para r > R .

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Uma placa condutora neutra, em equilíbrio eletroestático, quadrada, de lado L e espessura d , tal que L ≫ d , é colocada a uma distância 2 . d