Enunciado

52. No cinescópio de uma TV, a voltagem de aceleração é igual a 15,0   k V ; o feixe de elétrons passa através de uma abertura de 0,50   m m de diâmeiro e atinge uma tela situada a uma distância de 0,300   m da abertura. a ) Calcule a incerteza no componente da velocidade do elétron perpendicular à reta entre a abertura e a tela. b ) Qual é a incerteza na localização do ponto onde o elétron atinge a tela? c ) O efeito da incerteza afeta significativamente a nitidez da imagem? (Use expressões não-relativísticas para o movimento dos elétrons. Isso fornece uma precisão bastante boa e certamente é adequado para a estimativa dos efeitos da incerteza.)

Passo 1

Para encontrar a incerteza da velocidade pedida em ( a ) , basta usar o princípio da incerteza dado por:

Δ y Δ p = h 2 π

Então basta isolar a incerteza do momento ( Δ p ) , onde vamos fazer o Δ y é igual a 0,50   m m = 0,5 ⋅ 10 - 3   m . Assim:

Δ p = h 2 π Δ y

E vamos tirar a velocidade da seguinte maneira, lembrando que:

p = m v

Então:

Δ p = m Δ v

⇒ Δ v = Δ p m

E para o item ( b ) para calcular a incerteza da localização, vamos lembrar que:

s = v t

Agora temos que mexer um pouco, podemos falar também que:

t = x v

E que:

K = 1 2 m v 2

⇒ v = 2 K m

Então temos que:

t = x 2 K / m

E no final temos que:

Δ s = Δ v x 2 K / m

E a energia cinética podemos encontrar através da conservação de energia que nos fornece que:

K = q V

Agora vamos partir para os cálculos.

Passo 2

Vamos então encontrar a incerteza da velocidade, temos que:

Δ v = Δ p m

Mas lembrando que:

Δ p = h 2 π Δ y

Ficamos com:

Δ v = h 2 π Δ y m

Substituindo os valores que conhecemos, lembrando que a massa do elétron é m = 9,109 ⋅ 10 - 31   k g e h = 6,626 ⋅ 10 - 34   J ⋅ s , temos:

Δ v = 6,626 ⋅ 10 - 34 2 π 0,5 ⋅ 10 - 3 9,109 ⋅ 10 - 31

= 6,626 ⋅ 10 - 34 2,86 ⋅ 10 - 33

Assim, temos que:

Δ v = 0,23   m / s

Passo 3

Agora vamos encontrar a incerteza na localização com a expressão que chegamos no passo 1 , temos:

Δ s = Δ v x 2 K / m

Antes de substituir tudo que sabemos vamos encontrar K , temos:

K = q V

= ( 1,602 ⋅ 10 - 19 ) ( 15 ⋅ 10 3 )

Então temos:

K = 2,403 ⋅ 10 - 15   J

Voltando a incerteza, temos:

Δ s = ( 0,23 ) 0,3 2 ( 2,403 ⋅ 10 - 15 ) / ( 9,109 ⋅ 10 - 31 )

= 0,069 6,616 ⋅ 10 8

Então temos que:

Δ s = 0,0104 ⋅ 10 - 8   m

Como você pode ver, esse valor é muito pequeno para alterar na resolução da TV.

Resposta

( a )

Δ v = 0,23   m / s

( b )

Δ s = 0,0104 ⋅ 10 - 8   m

( c )

O valor é muito pequeno para alterar na resolução da TV.

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