Enunciado

44. Luz coerente passa por duas fendas estreitas cuja separação é de 40,0   μ m . A franja brilhante de segunda ordem na figura de interferência está situada a um ângulo de 0,0300   r a d . Se elétrons forem usados em vez de luz, qual deve ser a energia cinética (em

elétrons-volt) dos elétrons, se eles devem produzir uma figura de interferência em que o máximo de segunda ordem também está a 0,0300   r a d ?

Passo 1

Então queremos saber a energia cinética dos elétrons para repetir o que acontece com a luz coerente.

Sabemos que a energia cinética é dada por:

K = 1 2 m v 2

A massa do elétron já conhecemos é m = 9,109 ⋅ 10 - 31   k g , então o que falta é a velocidade.

E é essa velocidade que vai fazer com que a energia cinética seja suficiente para reproduzir a mesma figura de interferência.

Para resolver esse problema pessoal, teremos que usar nossos conhecimentos de óptica, lembrando da difração por fenda dupla.

Mas por quê?

Porque o elétron nesse caso apresenta comportamento ondulatório sofrendo difração. Lembrando que para fenda dupla temos a seguinte equação que fornece os ângulos onde ocorre as franjas claras:

d sen ⁡ θ = m λ

Onde d é a distância entre as fendas.

Vamos usar essa equação pois a parti dela conseguimos encontrar λ que faz com que o elétron reproduza o padrão de interferência da luz.

Tendo esse λ podemos encontrar a velocidade com a equação de De Broglie, dada por:

λ = h m v

Onde h = 6,63 ⋅ 10 - 34   J ⋅ s .

Passo 2

Vamos encontrar o λ então, temos que para reproduzir o padrão de interferência da luz usar m = 2 e θ = 0,0300   r a d , assim:

d sen ⁡ θ = m λ

⇒ λ = d sen ⁡ θ m

Então:

λ = ( 40 ⋅ 10 - 6 ) sen ⁡ ( 0,03 ) 2

= 0,6 ⋅ 10 - 6   m

Passo 3

Agora podemos encontrar a velocidade, dada por:

λ = h m v

v = h m λ

Substituindo os valores que sabemos, temos:

v = 6,63 ⋅ 10 - 34 ( 9,109 ⋅ 10 - 31 ) ( 0,6 ⋅ 10 - 6 )

= 6,63 ⋅ 10 - 34 5,47 ⋅ 10 - 37

Então temos que:

v = 1,21 ⋅ 10 3   m / s

Passo 4

Agora que encontramos a velocidade podemos finalmente achar o valor da energia cinética dos elétrons, temos:

K = 1 2 m v 2

Substituindo o que sabemos temos:

K = 1 2 ( 9,109 ⋅ 10 - 31 ) ( 1,21 ⋅ 10 3 ) 2

Então temos que:

K = 6,67 ⋅ 10 - 25   J

Mas o enunciado quer esse resultado em elétrons-volt, usando o fato de que:

1   J = 0,624 ⋅ 10 19

Então temos que:

K = 4,16 ⋅ 10 - 6   e V

Resposta

K = 4,16 ⋅ 10 - 6   e V

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