Enunciado

No circuito da figura, a chave é ligada para t = 0 , com o capacitor descarregado. Calcule a voltagem V t através do capacitor após um tempo t .

Passo 1

Para resolvermos, vamos utilizar as leis de Kirchoff para circuitos em série e paralelo, somando as tensões de todo o sistema. Com isso, vamos encontrar nossa corrente que passa pelo capacitor, aí aplicaremos a seguinte relação

I t = d q t d t

Para encontrarmos a carga que passa pelo capacitor. Após isso, tudo que teremos que fazer é dividir pela capacitância para encontrar a tensão que passa pelo capacitor.

Passo 2

Bom, vamos lá! Como já dito no passo 1, vamos começar montando a distribuição da tensão pelo circuito, já que temos parte em série e parte em paralelo. Temos que toda a tensão que passa pelo sistema é

ε - R ⋅ I 1 t - q t C + R ⋅ I 2 t = 0

Como a segunda resistência está em paralelo, precisamos antes encontrar o valor da corrente que passa por ela. Podemos escrever outra equação para esse circuito, que é:

q t C - R ⋅ I 2 t = 0

Com essa equação, chegamos que I 2 t = q t R C . Substituindo na nossa primeira, vamos ter que:

ε - R ⋅ I 1 t - q t C + R ⋅ q t R C = 0

ε - R ⋅ I t - 2 ⋅ q t C = 0

Se derivarmos essa relação, vamos ter que

R ⋅ d I t d t = - 2 ⋅ d q t C d t

E como já vimos no capitulo, d q t d t = I C t . Substituindo e manipulando, vamos ter que

d I I = - 2 d t R C

Integrando de 0 até t , onde I 0 = ε R , vamos ter que

ln ⁡ I t I 0 = - 2 t R C

I t = ε R ⋅ e - 2 t R c

Como queremos a tensão no capacitor, precisamos aplicar que d q = I t d t . Assim, integrando de 0 até t , vamos chegar que

q t = R C ε 2 R ⋅ - e - 2 t R C + 1

Dividinco pela capacitância, vamos chegar no nosso resultado, que é

V t = 1 2 ε ⋅ 1 - e - 2 t R C

Resposta

V t = 1 2 ε ⋅ 1 - e - 2 t R C

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