Enunciado

Para o circuito mostrado na figura abaixo, a chave S permaneceu aberta por um longo tempo. No instante t = 0 a chave é, então, fechada. (a) Qual é a corrente na bateria logo após a chave S ter sido fechada? (b) Qual é a corrente na bateria um longo tempo depois da chave S ter sido fechada? (c) A chave permaneceu fechada por um longo tempo. No tempo t = 0 a chave é, então, aberta. Determine a corrente no resistor de 600   k Ω como função do tempo.

Passo 1

EAE GALERA! Vamos matar essa a paulada! BIRLL! Adotaremos R 1 para representar o resistor de 1.20   M Ω e R 2 para representar o resistor de 600   K Ω . Existem três possíveis cenários para esse circuito:

1) Imediatamente depois que a chave é fechada, o capacitor possui carga igual a zero e a diferença de potencial entre ele também é zero;

2) Um longo tempo depois que a chave é fechada, o capacitor estará totalmente carregado e a diferença de potencial entre ele será dado por Q / C   ou I ∞ R 2 ;

3) Quando a chave é aberta depois de estar fechada por um longo período de tempo, tanto o resistor quanto a fonte de tensão estarão fora do circuito e o capacitor totalmente carregado irá descarregar através de R 2 ;

Poderíamos utilizar a Segunda Lei de Kirchhoff’s para encontrar as correntes no circuito quando a chave é imediatamente fechada, quando a chave é fechada por um longo período de tempo e quando a chave é aberta após ter passado por um longo período de tempo fechada.

DITO ISTO, VAMOS PARA A RESOLUÇÃO (hora dos cálculos, baby)

Passo 2

Começaremos aplicando a Segunda Lei de Kirchhoff’s no circuito considerando o cenário de número 1, para obtermos a resposta da alternativa (a):

ℇ -   I 0 R 1 -   V C 0 = 0

Como V C 0 = 0 , temos:

ℇ -   I 0 R 1 = 0

ℇ =   I 0 R 1

I 0 = ℇ R 1  

Substituindo pelos valores numéricos dados na questão, temos:

I 0 = 50.0   V 1.20   M Ω

I 0 = 41.7   μ Α

Terminamos essa alternativa, vamos para a próxima!

Passo 3

Aplicando a Segunda Lei de Kirchhoff’s no circuito considerando o cenário de número 2, para obtermos a resposta da alternativa (b):

ℇ -   I ∞ R 1 -   I ∞ R 2 = 0

-   I ∞ R 1 -   I ∞ R 2 = - ℇ

I ∞ ( R 1 +   R 2 ) = ℇ

I ∞ = ℇ R 1 +   R 2

Substituindo pelos valores numéricos dados na questão, temos:

I ∞ = 50.0   V 1.20   M Ω + 600   K Ω  

I ∞ = 27.8   μ Α

Terminamos mais uma alternativa! Vamos para a última!

Passo 4

Aplicando a Segunda Lei de Kirchhoff’s no circuito considerando o cenário de número 3, para obtermos a resposta da alternativa (c):

V C t -   I t   R 2 = 0

-   I t   R 2 = -   V C t

I t   = V C t R 2

Sabemos que V C t =   V C ∞   e - t / τ , substituindo:

I t   = V C ∞   R 2 e - t / τ

I t   = I ∞   e - t / τ

Onde τ =   R 2 C , substituindo pelos valores numéricos, temos que:

I t   = 27.8   μ Α   e - t / 600 K Ω ( 2.50 μ F )

I t   = 27.8   μ Α   e - t / 1.50 s

PRONTO, foram todas as alternativas! Até a próxima galera.

Resposta

a) I 0 = 41.7   μ Α

b) I ∞ = 27.8   μ Α

c) I t   = 27.8   μ Α   e - t / 1.50 s

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