Enunciado

Começando do repouso, uma pessoa de 64,0   k g pula de bungee jump de um balão de ar amarrado 65,0   m acima do solo. A corda do bungee tem massa desprezível e comprimento esticado de 25,8   m . Uma ponta é amarrada à cesta do balão e a outra, a um engate ao redor do corpo da pessoa. A corda é modelada como uma mola que obedece à lei de Hooke, com uma constante de mola de 81,0   N / m , e o corpo da pessoa é modelado como uma partícula. O balão de ar quente não se move. (a) Expresse a energia potencial gravitacional do sistema pessoa-Terra como uma função da altura variável y da pessoa acima do solo. (b) Expresse a energia potencial elástica da corda como uma função de y . (c) Expresse a energia potencial total do sistema pessoa-corda-Terra como uma função de y . (d) Faça um gráfico da energia potencial gravitacional, elástica e total como funções de y . (e) Suponha que a resistência do ar seja desprezível. Determine a altura mínima da pessoa acima do solo durante seu mergulho. (f) O gráfico de energia potencial mostra alguma posição, ou posições, de equilíbrio? Caso mostre, em que posições verticais? Elas são estáveis ou instáveis? (g) Determine a velocidade máxima da pessoa que está saltando.

Passo 1

E aiii gente, tudo bem com vocês?

Vamos fazer uma questãozinha aqui?

Vem comigo!

Letra a:

U g = m g y = 64.0 k g 9.80 m s 2 y = 627 N y

Passo 2

Letra b:

Na altura original e em todas as alturas acima de 65.0 m - 25.8 m = 39.2 m , o cabo não está esticado e U s = 0 . Abaixo de 39,2m, a extensão do cabo x é dada por x = 39.2 m - y , então a energia elástica é:

U s = 1 2 k x 2 = 1 2 ( 81.0 N / m ) ( 39.2 m - y ) 2

Passo 3

Letra c:

Para y > 39.2 m :

U g + U s = ( 627 N ) y

Para y ≤ 39.2 m :

U g + U s = ( 627 N ) y + 40.5 N / m 1537 m 2 - 78.4 m y + y 2 = ( 40.5 N / m ) y 2 - ( 2550 N ) y + 62200 J

Passo 4

Letra d:

Veja o gráfico:

Passo 5

Letra e:

Na altura mínima, o saltador tem energia cinética zero e o sistema tem a mesma energia total que tinha quando o saltador estava em seu ponto de partida. K i + U i = K f + U f torna-se:

627 N 65.0 m = 40.5 N m y f 2 - 2550 N y f + 62200 J

0 = 40.5 y f 2 - 2550 y f + 21500

y f = 10.0 m

Passo 6

Letra f:

A energia potencial total tem um mínimo, representando uma posição de equilíbrio estável. Para encontrá-lo, precisamos de d U d y = 0 . Suprimindo unidades, temos:

d d y 40.5 y 2 - 2550 y + 62200 = 0 = 81 y - 2550 y = 31.5 m

Passo 7

Letra g:

A energia cinética máxima ocorre na energia potencial mínima. Entre o ponto de salto e este local, temos:

K i + U i = K f + U f

0 + 40800 = 1 2 ( 64.0 ) v m a x 2 + 40.5 ( 31.5 ) 2 - 2550 ( 31.5 ) + 62200

v m a x = 2 40800 - 22200 64.0 k g 1 2 = 24.1 m s

Resposta

  1. 627 N y
  2. 1 2 ( 81.0 N / m ) ( 39.2 m - y ) 2
  3. 627 N y   e   ( 40.5 N / m ) y 2 - ( 2550 N ) y + 62200 J
  4. V e r   g r á f i c o
  5. y f = 10.0 m
  6. y = 31.5 m
  7. 24.1 m s
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