Enunciado

Um estudante propõe um projeto com uma barreira para amortecer batidas de automóveis no qual um veículo esportivo de 1700 kg se movendo a 20,0 m/s se choca contra uma mola de massa desprezível que faz diminuir sua velocidade até ele parar. Para evitar danos aos passageiros, o módulo da aceleração quando o veículo diminui sua velocidade não pode ser maior do que 5,00g. a) Ache a constante da mola k necessária e calcule a distância que a mola deve ser comprimida até o carro parar. Em seus cálculos, despreze possíveis deformações do veículo e o atrito entre o veículo e o solo. b) Quais são as desvantagens desse projeto?

Passo 1

Oi, pessoal! Tudo joia?

Vamos entender o que está acontecendo, beleza?

A energia responsável pelo movimento do carro será transferida para a mola deformando-a. A ideia dessa questão é que a energia cinética se transforma em energia potencial elástica. Ou seja, toda a energia responsável pelo movimento do carro vira a energia responsável pela compressão da mola. Primeiro iremos calcular a equação de conservação de energia e depois desenvolver a condição da aceleração e juntar as duas obtendo nossas respostas.

Passo 2

Como a energia cinética se transformará em energia potencial elástica, temos:

E C = E P

m v 2 2 = k x 2 2

m v 2 =   k x 2

Beleza, agora vamos guardar essa equação de conservação de energia e partir para desenvolver a ideia da condição para evitar danos aos passageiros.

Passo 3

A condição diz que o módulo da aceleração não pode ser maior que 5,0 g .

Atenção pequeno gafanhoto! Aqui está o erro que muitos vão cometer, talvez você tenha achado que esse g representa unidade, no entanto esse g é da gravidade. E vamos admitir que g = 9,8   m / s 2 . Beleza?

De acordo com a segunda lei de Newton:

F R = m ∙ a

F e l a s t i c a = m ∙ a

a =   F e l a s t i c a m

No nosso caso: a ≤ 5 g . Então:

F e l a s t i c a m ≤ 5 g

Sendo que F e l a s t i c a = k ∙ x , assim:

k ∙ x m ≤ 5 g

Isolando o x e k , temos:

x   ≤   m ∙ 5 g k

k   ≤   m ∙ 5 g x

Passo 4

Agora, vamos isolar x e k na equação de conservação de energia e aplicar as desigualdades acima nessa equação.

Primeiro começando com x .

Isolando x na equação da conservação:

x 2 =   m ∙ v 2 k

Aplicando a desigualdade:

m ⃥ ∙ 5 g k ⃥ 2 =   m ⃥ ∙ v 2 k ⃥

1700 ∙ 25 ∙ 9,8 2 k = 20 2

k = 25 ∙ 9,8 2 20 2  

k = 10204,25   N / m  

Pronto, achamos o valor para k.

Agora vamos repetir esse processo para o k que assim acharemos o valor de x . Isolando k na equação de conservação de energia:

k =   m ∙ v 2 x 2

Aplicando a desigualdade:

m ⃥ ∙ 5 g x ⃥ =     m ⃥ ∙ v 2 x 2 ⃥

x =   v 2 5 g

x =   20 2 5 ∙ 9,8

x ≅   8,16   m

Resposta

a )   k = 10204,25   N / m   e a distância que a mola deve ser comprimida até o carro parar é   8,16   m

b ) Essa distância é muito grande, geralmente o carro não tem muito espaço para frear.

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