Enunciado

Considere o campo u → x ,   y ,   z = z   i ^ + x   j ^ + y   k ^ . Calcule sua divergência e seu rotacional.

Passo 1

Fala galerinha, beleza?

Você já deve ter percebido que essa questão não é física, e sim de matemática. Primeiro vamos calcular a divergência do campo vetorial u → .

Para isso, lembramos que se u → = u x   i ^ + u y   j ^ + u z   k ^ , a divergência é dada por

∇ ⋅ u → = ∂ u x ∂ x + ∂ u y ∂ y + ∂ u z ∂ z

Observe que nesse caso, temos u x = z , u y = x e u z = y , de modo que

∂ u x ∂ x = ∂ u y ∂ y = ∂ u z ∂ z = 0

Com isso, achamos

∇ ⋅ u → = 0

Passo 2

Enquanto a divergência é um escalar, o rotacional é um vetor, dado pelo determinante:

∇ × u → = i ^ j ^ k ^ ∂ x ∂ y ∂ z u x u y u z

Com isso, temos

∇ × u → = i ^ j ^ k ^ ∂ x ∂ y ∂ z z x y

Fazemos as contas do determinante, entramos

∇ × u → = ∂ y ∂ y - 0 i ^ + ∂ z ∂ z - 0 j ^ + ∂ x ∂ x - 0 k ^

Assim,

∇ × u → = i ^ + j ^ + k ^

Resposta

∇ ⋅ u → = 0

∇ × u → = i ^ + j ^ + k ^

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