Enunciado

Considere um conjunto de bolas de sinuca, com raio de 3,0   c m , paradas e dispersas de forma aleatória sobre uma mesa de jogo, com uma densidade de 10 bolas por m 2 .

a) Qual é o livre percurso médio de uma bola adicional posta a rolar sobre a mesa?

b) Qual é a probabilidade de essa bola cruzar o comprimento da mesa ( L = 2,88   m ) sem nenhuma colisão?

Sugestão: considere o resultado de 19.12P.

Passo 1

Fala pessoal, beleza?

No exercício anterior (19.12P), nós deduzimos a expressão para o livre caminho dessa situação com as bolas de bilhares espalhadas na mesa. O resultado encontrado foi

l = 1 4 R σ

Nessa expressão, R = 3,0   c m é o raio das bolas e σ = 10   m - 2 é a densidade de bolas por unidade de área. Com isso, basta substituir na fórmula é pronto:

l = 1 4 ⋅ 3,0 ⋅ 10 - 2 ⋅ 10 = 10 12   m = 0,83   m

Portanto, o livre caminho médio é

l = 0,83   m

Esse número representa a distância média percorrida pela bola entre cada colisão, isto é,

l = d i

Se você quiser pular toda a digressão que vem a seguir, vai direto para a última equação do passo 3 em que eu apresento a função densidade de probabilidade de a bola percorrer uma distância x antes de uma colisão.

Passo 2

Para resolver o item (b) vamos usar a equação 19.20 da probabilidade de voo livre:

P t = A   e - t τ

Essa equação dá a probabilidade dá colisão ocorrer após um tempo t . Podemos escrever uma versão análoga dessa expressão considerando distância:

P x = A   e - x D

Nessa expressão, A é uma constante de normalização de modo que

∫ 0 ∞ P x   d x = 1

Temos também que D é uma constante com dimensão de comprimento. Em instante vamos discutir com calma quem será esse D . Mas antes vamos olhar para a constante de normalização:

A   ∫ 0 ∞ e - x D   d x = 1 → A   - D e - x D 0 ∞ = 1

Assim,

A 0 - - D = 1 → A = 1 D

Portanto,

P x = 1 D e - x D

Passo 3

Agora vamos discutir um pouco sobre quem é essa constante D . Para isso, vamos calcular o valor médio de x :

x = ∫ 0 ∞ x   P x   d x = 1 D   ∫ 0 ∞ x   e - x D   d x

Para fazer essa integral vamos usar integração por partes:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Vamos chamar u = x e d v = e - x D   d x , de modo que

d u = d x             e         v = - D   e - x D

Com isso,

∫ 0 ∞ x   e - x D   d x = - D   x   e - x D 0 ∞ + D   ∫ 0 ∞ e - x D   d x

O primeiro termo do lado direito da equação será nulo pois

lim x → ∞ ⁡ x   e - x D = 0

Com isso, temos que

∫ 0 ∞ x   e - x D   d x = D   ∫ 0 ∞ e - x D   d x

Mas a integral do lado direito já foi calculada no passo 2 e seu resultado foi D , de modo que

∫ 0 ∞ x   e - x D   d x = D 2

Com isso, o valor esperado de x será

x = 1 D ∫ 0 ∞ x   e - x D   d x = 1 D ⋅ D 2 = D

Mas agora vai dar uma olhadinha no final do passo 1. O livre percurso médio é justamente o valor esperado de x , de modo que essa constante D é simplesmente l :

P x = 1 l e - x l

Usaremos essa expressão final para resolver o item (b).

Passo 4

Agora que temos a densidade de probabilidade, basta integrar entre o intervalo considerado que temos a probabilidade!

Queremos que a bola percorra uma distância maior ou igual a L = 2,88   m , isto significa que queremos calcular

P x > L = ∫ L ∞ P x   d x = 1 l ∫ L ∞ e - x l   d x

Fazendo a integral, temos

P x > L = 1 l ⋅ - l   e - x l   L ∞ = 0 - - e - L l = e - L l

Com isso,

P x > L = e - 2,88 0,83 ≈ 0,03

Isso significa que a probabilidade é aproximadamente 3 % :

P ≈ 3 %

Ufa, terminamos o problema!

Resposta

l = 0,83   m

P ≈ 3 %

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