Enunciado

4. Considere estados com número quântico do momento angular l = 2 . a ) Qual é o maior valor possível de L em unidades de ? b ) Qual dos dois possui valor maior, L ou o maior valor possível de L z ? c ) Para cada valor permitido de L z qual é o ângulo entre o vetor L → e o eixo O z ? Como se compara o valor mínimo do ângulo para l = 2 com o valor mínimo do ângulo para l = 3 calculado no Exemplo 41.2 (Seção 41.2 )?

Passo 1

Primeiro, para podermos fazer alguma coisa temos que saber como calcular L e L z , eles são expressos da seguinte maneira, pelas equações 41.4 e 41.5 .

L = l l + 1 ℏ

L z = m l ℏ

O l o enunciao já forneceu, precisamos agora do m l , que tem os valores dependente do valor de l .

m l = 0 , ± 1 ,   ± 2 , … ,   ± l

Então se temos l = 2 , temos que:

m l = 0 ,   ± 1 ,   ± 2

Cama pessoal que ainda falta outra coisa, o ângulo entre L → e o eixo O z , que é dado por:

θ = arccos ⁡ L z L

Se você olhar os números quânticos pode ver que dependendo do valor de l teremos mais de um L z para o mesmo L e consequentemente mais de um ângulo θ para o mesmo L .

Passo 2

Então vamos começar galera. Temos que para

l = 2

Teremos:

m l = - 2 ,   - 1 ,   0 ,   1 ,   2

Assim:

L = 2 2 + 1 ℏ

⇒ L = 6 ℏ

⇒ L = 2,45 ℏ

Logo:

L z = - 2 ℏ

L z = - ℏ

L z = 0

L z = ℏ

L z = 2 ℏ

Com isso podemos responder o item ( a ) e o ( b ) de uma só vez.

O maior valor possível de L é 2,45 ℏ .

O maior valor de L z é 2 ℏ , logo L tem um valor maior que o maior valor possível de L z .

Passo 3

Agora vamos encontrar os ângulos de L → em relação O z .

Para L = 6 ℏ = 2,45 ℏ temos L z = - 2 ℏ ,   L z = - ℏ , L z = 0 , L z = ℏ ,   L z = 2 ℏ , assim:

θ 1 = arccos ⁡ - 2 ℏ 6 ℏ

= 144,7 °

θ 2 = arccos ⁡ - ℏ 6 ℏ

= 144,1 °

θ 3 = arccos ⁡ 0 6 ℏ

= 90 °

θ 4 = arccos ⁡ ℏ 6 ℏ

= 65,9 °

θ 5 = arccos ⁡ 2 ℏ 6 ℏ

= 35,3 °

O valor mínimo do ângulo para l = 2 que encontramos é 35,3 ° , já para l = 3 , segundo o exemplo 41.2 é 30 ° .

Comparando esses resultados parasse que quanto maior l menor é o valor mínimo do ângulo entre L → e O z .

Resposta

( a )

L = 2,45 ℏ

( b )

L possui um valor maior que o maior valor de L z

( c )

Para L = 2,45 ℏ :

θ 1 = 144,7 °

θ 2 = 144,1 °

θ 3 = 90 °

θ 4 = 65,9 °

θ 5 = 35,3 °

Quanto maior l menor é o valor mínimo do ângulo do ângulo entre L → e O z .

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