Enunciado

Considere o gás hidrogênio ( H 2 ) a 0 ° C . A massa de um átomo de hidrogênio é 1,67 × 10 - 27 k g .

  1. Qual é o comprimento de onda médio de De Broglie das moléculas de hidrogênio?
  2. Com que velocidade um elétron teria de se deslocar para ter o mesmo comprimento de onda de De Broglie de hidrogênio? É necessário levar em conta a relatividade para esse elétron?
  3. Qual seria a energia de um fóton com o mesmo comprimento de onda que as moléculas de H 2 e os elétrons? Compare esse valor com a energia cinética da molécula de hidrogênio na parte (a) e o elétron na parte (b).

Passo 1

Vamos lá! Começaremos considerando toda partícula em movimento possui um comprimento de onda de De Broglie associado. Sabendo que a velocidade da molécula depende da temperatura, então o comprimento de onda também depende.

Podemos escrever a energia cinética da molécula como

K = 3 2 k T   ( 1 ) .

Sabemos que energia cinética é dada por

K = p 2 2 m   2 .

Igualando (1) e (2), temos

p = 3 m k T .

Passo 2

O comprimento de onda para uma partícula massiva pode ser escrito como

λ = h p = h 3 m k T       ( 3 ) .

Substituindo os valores teremos

λ f = 1,08 × 10 - 10   m .

Passo 3

No item (b) precisamos achar a velocidade.

Lembrando que

p = m v

Podemos usar a equação (3) para achar a velocidade. Sendo assim

v = h m λ = 6,75 × 10 6   m / s .

Esse valor é cerca de 2% da velocidade da luz.

Passo 4

Para o item (c), precisamos calcular a energia do fóton.

E = h c λ f = 6,626 × 10 - 34 × 3,0 × 10 - 8 1,08 × 10 - 10 = 1,84 × 10 - 15 J .

Agora vamos achar para o H 2

K = 3 2 k T = 3 2   1,38 × 10 - 23 × 273 = 5,65 × 10 - 21   J .

Agora vamos achar para o elétron

K = m v 2 2 = 1 2   9,11 × 10 - 31 × 6,73 × 10 6 2 = 2,06 × 10 - 17   J .

Resposta

a )   λ f = 1,08 × 10 - 10   m

  b )   v = 6,75 × 10 6   m / s

c )     E f = 1,84 × 10 - 15 J ; K H 2 = 5,65 × 10 - 21   J ;   K e = 2,06 × 10 - 17   J  

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