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Considere a máquina do ciclo Brayton (Problema 83) funcionando ao contrário, como refrigerador, em sua cozinha. Nesse caso, o ciclo inicia à temperatura T 1 e se expande a pressão constante até sua temperatura T 4 . O gás é, então, comprimido adiabaticamente, até que sua temperatura seja T 3 . Depois, ele é comprimido à pressão constante até a sua temperatura T 2 . Finalmente, ele se expande adiabaticamente até retornar ao seu estado original à temperatura T 1 .

  1. Esboce este ciclo em um diagrama PV.
  2. Mostre que o coeficiente de desempenho é
  3. C D B = T 4 - T 1 T 3 - T 2 - T 4 + T 1

  4. Suponha seu "refrigerador em ciclo Brayton" funcionando da seguinte maneira. O cilindro contendo o refrigerante (um gás monatômico) tem um volume e uma pressão iniciais de 60 mL e 1,0 atm. Depois da expansão a pressão constante, o volume e a temperatura são de 75 mL e –25 ° C. A relação de pressão r = P a l t a P b a i x a para o ciclo é de 5,0. Qual é o coeficiente de desempenho do seu refrigerador?
  5. Para absorver o calor do compartimento de alimentos a taxa de 120 W, qual é a taxa na qual deve ser fornecida energia elétrica para o motor do refrigerador?
  6. Supondo que o motor do refrigerador funcione efetivamente por apenas 4,0 h por dia, quanto ele acrescenta à sua conta mensal de energia elétrica? Suponha 15 centavos por kWh de energia elétrica e trinta dias em um mês.

Passo 1

Bom, queremos o diagrama do ciclo de Brayton. Que é composto de:

  1. Expansão isobárica: há um aumento do volume mantendo a pressão constante, e removendo calor no ciclo da fonte fria;
  2. Compressão adiabática: neste caso não há troca de calor, o volume está diminuindo e aumentando a pressão;
  3. Compressão isobárica: há diminuição do volume mantendo a pressão constante, liberando calor para a fonte quente;
  4. Expansão adiabática: não há troca de calor, o volume está aumentando e a pressão diminuindo.

Desenhando o ciclo:

Essa até que foi fácil! Vamos continuar!

Passo 2

O coeficiente de desempenho para um refrigerador é calculado como:

C D B = Q c W

Sabemos que:

W = Q q - Q c

Então:

C D B = Q c Q q - Q c

Como o calor Q c é o calor absorvido do processo 14, Q 14 , temos:

Q 14 = Q c

Como temos um processo à pressão constante, podemos calculá-lo como:

Q 14 = n C p ∆ T = n C p ( T 4 - T 1 )

Já o calor Q q é o calor liberado durante o processo 23, Q 23 , então:

Q q = - Q 3 2

Como temos um processo à pressão constante, podemos calculá-lo como:

Q q = - n C p ∆ T = - n C p ( T 2 - T 3 )

Substituindo na eficiência:

C D B = n C p ( T 4 - T 1 ) - n C p ( T 2 - T 3 ) - n C p ( T 4 - T 1 ) = n C p ( T 4 - T 1 ) - n C p T 2 - T 3 + T 4 - T 1

Reorganizando:

C D B = T 4 - T 1 T 3 - T 2 - T 4 + T 1

Passo 3

Muito bem, para achar CD precisamos de todas as temperaturas. Já sabemos que, depois do processo de expansão adiabática, processo 14:

P 1 = P 4 = 1   a t m

V 4 = 75   m L = 0,075   L

T 4 = - 25 ° C + 273 = 248   K

Como a pressão é constante de 14, pela lei dos gases ideais:

P V = n R T

O termo n R P é constante para os pontos 1 e 4:

V 1 T 1 = V 4 T 4

Sabendo que:

V 1 = 60   m L = 0,06   L

Substituindo:

0,075   L 248   K = 0,06   L T 4

T 1 = 198   K

O processo de 34 é adiabático, então usamos a relação:

T 3 γ P 3 γ - 1 = T 4 γ P 4 γ - 1

Isolando T 3 :

T 3 = T 4 P 3 P 4 γ - 1 γ

Sabendo que:

γ = g + 2 g

Onde g são os graus de liberdade. Como o gás é monoatômico, g = 3 :

T 3 = T 4 P 3 P 4 2 5

Se:

r = P a l t a P b a i x a = P 3 P 4 = 5

Substituindo:

T 3 = 198   K 5 2 5

T 3 = 473   K

A mesma relação pode ser usada para o processo 12:

T 1 γ P 1 γ - 1 = T 2 γ P 2 γ - 1

Então:

T 2 = T 1 P 2 P 1 2 5

Substituindo:

T 2 = 198   K 5 2 5

T 2 = 378   K

Na fórmula do passo 2:

C D B = 248   K - 198   K 473 K - 378   K - 248   k + 198   K

C D B = 1,1

Terminamos mais uma !

Passo 4

Na letra d queremos a taxa na qual deve ser fornecida energia elétrica, ou seja, a potência. E o que é a potência:

P o t = d W d t

Não temos o trabalho, então devemos calculá-la de forma diferente. Vamos usar o coeficiente de desempenho para isso.

No caso dos refrigeradores:

C D B = Q c W → W = Q c C D B

Se queremos a variação pelo tempo:

d W d t = 1 C D B . d Q c d t

Modificando um pouco mais, a variação do trabalho pelo tempo pode ser calculada simplesmente como:

d Q c d t = f Q c

Onde f é a frequência, dada em s - 1 . O calor à pressão constante pode ser calculado como:

Q c = Q 14 = g + 2 2 n R ( T 4 - T 1 )

Lembrando que g = 3 :

d Q c d t = 5 2 f n R ( T 4 - T 1 )

Vamos substituir na equação do trabalho pelo tempo:

d W d t = 5 2 f n R T 4 - T 1 C D B

Bem, agora o que temos?

T 4 = 248   K

T 1 = 19 8   K

C D B = 1,1

R = 8,314 J m o l . K

Ninguém nos disse nada sobre a frequência, mas vamos analisar esta potência durante um intervalo de um minuto, ok?

f = 60 s - 1

Só não temos como dizer nada sobre os mols, mas temos tudo o que precisamos para calculá-lo.

Se vocês lembrarem da lei dos gases ideais:

P V = n R T

Temos todos os dados que precisamos para calcular no ponto 4, certo? Então bora usá-lo:

n = P 4 V 4 R T 4

Substituindo:

d W d t = 5 2 f P 4 V 4 T 4 - T 1 C D B T 4

Colocando os dados:

d W d t = 5 2 60 s - 1 1   a t m   x 101325   P a a t m 0,075   L   x 10 - 3   m 3 L 248   K - 198   K ( 1,1 ) ( 248   K )

d W d t = 207   W

Passo 5

Queremos saber quanto de energia esse refrigerador funcionando 4,0 h por dia e trinta dias em um mês, suponha 15 centavos por kWh de energia elétrica.

Já sabemos que o refrigerador consome 0,207 kWh. Então:

C o n s u m o = 0,207   k W h   x   15 c e n t a v o s k W h   x   1   r e a l   100   c e n t a v o s x 4   h o r a s d i a x 30   d i a s m ê s

C o n s u m o = R $   3,7

Passo 6

  1. -
  2. -
  3. C D B = 1 , 1 ;
  4. d W d t = 207   W ;
  5. C o n s u m o = R $   3,7 .

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