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Um disco sólido de raio r e massa m está girando em torno de um eixo sem atrito através de seu centro e perpendicular ao disco, com velocidade angular ω 1 na temperatura T 1 . A temperatura do disco diminui para T 2 . Expresse a velocidade angular ω 2 , a energia cinética rotacional K 2 e o momento angular L 2 em termos de seus valores na temperatura T 1 e o coeficiente de expansão linear α do disco.

Passo 1

O eixo passa pelo centro, o que significa que podemos escrever o momento angular da seguinte maneira:

L = I ω

Como, a variação de temperatura não causa variação no torque sobre o disco, podemos escrever a expressão do torque como sendo:

∑ τ = d L d t = 0

Ou seja, o momento angular não varia de um momento a outro, já que o torque é zero. Então podemos dizer que:

L 2 = L 1

E também:

I 2 ω 2 = I 1 ω 1

I 2 = I 1 ω 1 ω 2

Passo 2

Escrevendo o momento de inercia do disco após a diminuição de temperatura:

I 2 = m r 2 2

E então escrevemos r 2 em termos de r 1 pela equação de expansão linear:

Δ r = r 1 α Δ T

r 2 = r 1 + r 1 α Δ T = r 1 1 + α Δ T

Ficamos com:

I 2 = m r 1 2 1 + α Δ T 2 = I 1 1 + α Δ T 2

Passo 3

E agora precisaremos fazer algumas aproximações, o fator quadrático ao expandirmos o termo 1 + α Δ T 2 é muito menor que o fator linear, podemos desprezá-lo:

I 2 ≈ I 1 1 + 2 α Δ T

Substituindo na equação

I 2 = I 1 ω 1 ω 2

Ficamos com:

I 1 ω 1 ω 2 ≈ I 1 1 + 2 α Δ T

Simplificando os momentos de inercia e isolando ω 2 :

ω 2 = ω 1 I 1 1 + 2 α Δ T

E fazendo a expansão binomial e desprezando os termos de maiores ordens que o termo linear para 1 + 2 α Δ T - 1 :

1 + 2 α Δ T - 1 ≈ 1 - 2 α Δ T

Teremos:

ω 2 = ω 1 1 - 2 α Δ T

Passo 4

E por fim, vamos escrever as energias totais, E 1 e E 2 em termos do momento angular e do momento de inércia, assim:

E 1 = L 1 2 I 1

E 2 = L 2 2 I 2 = L 1 2 I 2 ,   p o i s   L 2 = L 1

Fazendo então a razão entre as duas energias:

E 2 E 1 = L 1 2 I 2 L 1 2 I 1 = I 1 I 2

Mas a última razão que encontramos pode ser escrita em termos dos momentos angulares que encontramos no passo 3:

E 2 E 1 = ω 1 ω 2

E também no passo 3 calculamos a relação entre os momentos angulares, então ficamos com:

E 2 E 1 = 1 - 2 α Δ T

E 2 = E 1 1 - 2 α Δ T

Como a energia do sistema é somente cinética:

K 2 = K 1 1 - 2 α Δ T

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