Enunciado

Considere o potencial vetor

A → = B 2 - y   i ^ + x   j ^

a) Qual é o campo magnético associado a esse potencial?

b) Mostre por cálculo direto que

∮ A → ⋅ d l → = ∫ S ∇ × A → ⋅ d S → ,

onde C é o círculo definido por x 2 + y 2 = r 2 .

Passo 1

Fala galerinha, beleza?

Esse é um exercício bem interessante para gente brincar um pouco com o potencial vetor. Sabemos que o campo magnético é dado por

B → = ∇ × A →

Com isso, podemos escrever

B → = i ^ j ^ k ^ ∂ x ∂ y ∂ z - B 2 y B 2 x 0

Como nada depende de z , podemos escrever ∂ z = 0 , de modo que

B → = i ^ j ^ k ^ ∂ x ∂ y 0 - B 2 y B 2 x 0

Daí é só fazer o determinante:

B → = ∂ ∂ x B 2 x - ∂ ∂ y - B 2 y k ^ = B 2 + B 2   k ^

Com isso, vemos que o campo magnético é uniforme e aponta na direção k ^ :

B → = B   k ^

Passo 2

No item (b) temos que calcular duas integrais:

∮ A → ⋅ d l →               e             ∫ S ∇ × A → ⋅ d S →

A integral de linha deve ser calculada ao longo do círculo x 2 + y 2 = r 2 . Para isso, fazemos a parametrização

x = r cos ⁡ t y = r   s e n   t

Portanto,

d x d t = - r   s e n   t                 e           d y d t = r cos ⁡ t

Assim,

d l → = d x   i ^ + d y   j ^ = r   - s e n   t   i ^ + cos ⁡ t   j ^   d t

Já o potencial vetor pode ser escrito como

A → = B 2 - y   i ^ + x   j ^ = B r 2 - s e n   t   i ^ + cos ⁡ t   j ^

Com isso,

A → ⋅ d l → = B r 2 2   d t   - s e n   t   i ^ + cos ⁡ t   j ^ ⋅ - s e n   t   i ^ + cos ⁡ t   j ^

Portanto,

A → ⋅ d l → = B r 2 2 ⋅ s e n 2 t + cos 2 ⁡ t   d t = B r 2 2   d t

Daí é só fazer a integral com t entre 0 e 2 π :

∮ A → ⋅ d l → = ∫ 0 2 π B r 2 2   d t = B r 2 2 ⋅ 2 π = B π r 2

Já para a segunda integral, como o campo é uniforme e perpendicular a superfície limitada pelo círculo, temos que

∫ S ∇ × A → ⋅ d S → = ∫ S B → ⋅ d S → = ∫ S B   k ^ ⋅ k ^   d S = B ∫ d S = B ⋅ A r e a c i r c u l o

Assim,

∫ S ∇ × A → ⋅ d S → = B ⋅ π r 2

Com isso é fácil você perceber que

∮ A → ⋅ d l → = ∫ S ∇ × A → ⋅ d S →

Resposta

B → = B   k ^

∮ A → ⋅ d l → = ∫ S ∇ × A → ⋅ d S → = B π r 2

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