Enunciado

Considere um segmento entre dois nós de uma onda estacionária criada por duas ondas, com uma amplitude de 5,00   m m e uma frequência de 120   H z , que se propagam em sentidos opostos em uma corda com 2,25   m de comprimento e 125   g de massa, submetida a uma tração de 40   N . A que taxa a energia entra no segmento (a) vindo de um lado da corda e (b) vindo dos dois lados da corda? (c) Qual é a energia cinética máxima da corda no segmento durante as oscilações?

Passo 1

(a) Quando pensamos na taxa em que a energia entra no segmento, estamos necessariamente pensando na potência transmitida pela onda.

P m é d = 1 2 μ v ω 2 y m 2

Onde μ é a densidade linear da corda, v é a velocidade de propagação da onda, ω é a frequência angular e y m é a amplitude.

Já temos todos os valores para calcular essa potência, só precisamos nos lembrar de uma relação para a velocidade de propagação:

v = τ μ

P m é d = 1 2 μ τ μ ω 2 y m 2 = 1 2 τ μ ω 2 y m 2

E a densidade linear μ será dada pela razão entre a massa e o comprimento da corda.

P m é d = 1 2 40 0,125 2,25 2 π   120 2 0,005 2

P m é d = 10,6   W

Passo 2

(b) Se a onda vem dos dois lados da corda, então a potência transmitida será dobrada:

P m é d , 2 = 2   P m é d

P m é d , 2 = 2 10,6 = 21,2   W

Passo 3

(c) Vamos lembrar da fórmula para a taxa com a qual a energia cinética é transportada por uma onda na corda:

d K d t = 1 2 μ v ω 2 y m 2 cos 2 ⁡ k x - ω t

Mas essa é apenas a taxa instantânea de transporte energia cinética em um segmento da corda.

Podemos integrar essa função ao longo de um período para obter a energia máxima do segmento durante as oscilações:

K = μ v ω 2 y m 2 ∫ 0 T cos 2 ⁡ k x - ω t d t

Onde tomamos o dobro da energia para levar em conta a presença de duas ondas no segmento. Vamos resolver essa integral:

I = ∫ cos 2 ⁡ k x - ω t d t = - 1 ω ∫ cos 2 ⁡ u   d u

E sabemos que, para resolver a integral do quadrado do cosseno precisamos fazer uma substituição:

I = - 1 ω ∫ 1 + cos ⁡ 2 u 2 d u = - 1 2 ω   u + 1 2 sen ⁡ 2 u

Então, para a energia máxima, teremos:

K = μ v ω 2 y m 2 2 ω - k x - ω T - 1 2 sen ⁡ k x - ω T + k x - ω 0 + 1 2 sen ⁡ k x - ω 0

E sabemos que ω T = 2 π , então:

K = μ v ω 2 y m 2 2 ω - k x - 2 π - 1 2 sen ⁡ k x - 2 π + k x + 1 2 sen ⁡ k x

E também sabemos que sen ⁡ ( x - 2 π ) = sen ⁡ ( x ) , então quase todos os termos dentro dos cholchetes se cancelam:

K = μ v ω 2 y m 2 2 ω 2 π = T 2 μ v ω 2 y m 2

Passo 4

Agora podemos reescrever essa última expressão em termos de P m é d :

K = P m é d 2 f

Onde f = 1 T = 120   H z . Então:

K = 21,2 ( 2 ) ( 120 ) = 8,83   .   10 - 2   J

Resposta

(a) P m é d = 10,6   W .

(b) P m é d = 21,2   W .

(c) K = 8,83   .   10 - 2   J .

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