Enunciado

Considere um único núcleo de um isótopo radioativo, com uma taxa de decaimento igual a λ . O núcleo não decaiu ainda em t = 0 . A probabilidade de que o núcleo irá decair entre um tempo t e um tempo t + d t é igual a λ e - λ t d t .

  1. Mostre que essa afirmativa é consistente com o fato de que a probabilidade de que o núcleo irá decair entre um tempo t = 0 e t = ∞ é 1 .
  2. Mostre que o tempo de vida esperado do núcleo é igual a 1 / λ .
  3. Uma amostra deste material contém um número de núcleos radioativos num tempo t = 0 . Qual é a vida média destes núcleos radioativos na amostra?

Passo 1

Oi galera, tudo bem? Vou ajudar você nessa aqui, vamos começar?

Letra (a):

A probabilidade que o núcleo irá decair entre um tempo 0 até é:

P = ∫ 0 ∞ λ e - λ t d t

Lembrando que λ é constante, integrando essa expressão temos:

P = λ e - λ t - λ 0 ∞ = - 1 1 e ∞ - 1 e 0   = 1

Passo 2

Letra (b):

O tempo de vida esperado do núcleo é:

τ = ∫ 0 ∞ t λ e - λ t d t ∫ 0 ∞ λ e - λ t d t = ∫ 0 ∞ t λ e - λ t d t

Agora nosso problema ficou integrar essa coisa ali, mas calma, é bem tranquilo. Vou fazer uma mudança de variáveis:

x = t λ ; d x = λ d t

Assim a integral fica:

τ = 1 λ ∫ 0 ∞ x   e - x d x

E consultando uma tabela de integrais temos que ∫ 0 ∞ x   e - x d x = 1 , então temos:

τ = 1 λ

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Letra (c):

O tempo de vida médio após todos os núcleos terem decaído é 1 / λ , o mesmo que o tempo de vida esperado.

Espero ter ajudado!

Até aproxima =)

Resposta

a )   P = ∫ 0 ∞ λ e - λ t d t = 1

b ) τ = 1 λ

c ) 1 / λ

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