Enunciado

Para construir um termômetro de leitura fácil, do ponto de vista prática (Problema 7), acopla-se um tubo capilar de vidro a um reservatório numa extremidade do tubo. Suponha que, à temperatura T 0 , o mercúrio está todo contido no reservatório, de volume V 0 , e o diâmetro do capilar é d 0 . (a) Calcule a altura h do mercúrio no capilar a uma temperatura T > T 0 (figura). (b) Para um volume do reservatório V 0 = 0,2   c m 3 , calcule qual deve ser o diâmetro do capilar em m m para que a coluna de mercúrio suba de 1   c m quando a temperatura aumenta de 1 ° C . Tome α = 9 × 10 - 6 / ° C para o vidro e β = 1,8 × 10 - 4 / ° C para o mercúrio.

Passo 1

(a) Vamos começar escrevendo uma fórmula para o volume total de líquido no recipiente:

V = V 0 1 + β Δ T

Esse volume vai estar distribuído pelo tubo, cujas dimensões também estão variando!

De qualquer forma, o volume de líquido sempre vão obedecer a essa relação:

V o l u m e   t o t a l = V o l u m e   n o   R e s e r v a t ó r i o + V o l u m e   n o   C a p i l a r

V 0 1 + β Δ T = V o l u m e   n o   R e s e r v a t ó r i o + V o l u m e   n o   C a p i l a r

Passo 2

O volume no reservatório (que fica sempre cheio) vai variar de acordo com o triplo do coeficiente de dilatação linear:

V 0 1 + β Δ T = V 0 1 + 3 α Δ T + V o l u m e   n o   C a p i l a r

Já o volume líquido no capilar vai depender da área da secção e da altura preenchida:

V o l u m e   n o   C a p i l a r = π d 2 2 h

V o l u m e   n o   C a p i l a r = π d 2 4 h

E o diâmetro vai dilatar de acordo com o coeficiente α :

V o l u m e   n o   C a p i l a r = π d 0 1 + α Δ T 2 4 h

Então:

V 0 1 + β Δ T = V 0 1 + 3 α Δ T + d 0 2 π 4 h 1 + α Δ T 2

Passo 3

Nosso objetivo é calcular a variação da altura em função da temperatura, então vamos isolar h na nossa fórmula:

V 0 1 + β Δ T = V 0 1 + 3 α Δ T + d 0 2 π 4 h 1 + α Δ T 2

Vamos colocar V 0 em evidência do lado esquerdo da equação:

V 0 β Δ T - 3 α Δ T = d 0 2 π 4 h 1 + α Δ T 2

E como α é um número muito pequeno, nós podemos fazer a seguinte aproximação:

1 + α Δ T 2 ≈ 1

Então:

V 0 β Δ T - 3 α Δ T = d 0 2 π 4 h

h = 4 V 0 π d 0 2 β - 3 α T - T 0

Onde usamos Δ T = T - T 0 .

Passo 4

(b) Agora queremos calcular o valor de d 0 dados α , β , Δ T e h .

Só precisamos reorganizar um pouco a fórmula que acabamos de encontrar:

h = 4 V 0 π d 0 2 β - 3 α T - T 0

d 0 = 4 V 0 π h β - 3 α T - T 0

Então, usando todos os comprimentos em centímetros:

d 0 = 4 0,2 π 1 1,8 × 10 - 4 - 3 9 × 10 - 6 1

d 0 = 4 0,2 π 1 1,8 × 10 - 4 - 3 9 × 10 - 6 1

d 0 = 6,2 × 10 - 3   c m

Convertendo para milímetros:

d 0 = 6,2 × 10 - 2   m m

Resposta

(a) A altura é dada por h = 4 V 0 π d 0 2 β - 3 α T - T 0 .

(b) O diâmetro do capilar deve ser d 0 = 6,2 × 10 - 2   m m .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Uma pequena variação do volume de um líquido ocorre quando ele é aquecido à pressão constante. Use os seguintes dados para estimar a contribuição relativa desta variação para a capacidade térmica da á
Por que é uma má ideia colocar no congelador uma garrafa de vidro fechada, completamente cheia d’água, para fazer gelo?
Escorregamos quando caminhamos sobre o gelo, especialmente quando usamos patins. O que isso informa sobre a dependência da temperatura de fusão em relação à pressão? Explique.
As áreas escuras da superfície lunar denominam-se mares, a palavra latina da qual deriva "mar'' em português, e antigamente pensava-se que cada mare contivesse grande quantidade de água. Na realidade,
"Chaminés hidrotérmicas" são fraturas no fundo do oceano que expelem água muito quente. A água que emerge de uma dessas fraturas na costa do Oregon, a uma profundidade de 2.400 m, apresenta uma temper