Enunciado

A figura ilustra um esquema possível de construção de um pêndulo cujo comprimento l não seja afetado pela dilatação térmica. As três barras veticais claras na figura, de mesmo comprimento l 1 , são de aço, cujo coeficiente de dilatação linear é 1,1 × 10 - 5 / ° C . As duas barras verticais escuras na figura, de mesmo comprimento l 2 , são de alumínio cujo coeficiente de dilatação linear é 2,3 × 10 - 5 / ° C . Determine l 1 e l 2 de forma a manter l = 0,5   m .

Passo 1

Vamos começar procurando uma expressão para o comprimento total l do pêndulo, afinal é ele quem vai determinar o período.

l = l 1 + l 1 - l 2

l = 2 l 1 - l 2

E quando a temperatura varia, queremos que l continue igual, apesar das mudanças em l 1 e l 2 .

Passo 2

Vamos escrever l ' 1 e l ' 2 como funções da temperatura:

l ' 1 T = l 1 1 + 1,1 × 10 - 5 Δ T

l ' 2 T = l 2 1 + 2,3 × 10 - 5 Δ T

Então:

l = 2 l ' 1 T - l ' 2 T

l = 2 l 1 1 + 1,1 × 10 - 5 Δ T - l 2 1 + 2,3 × 10 - 5 Δ T

l = 2 l 1 - l 2 + 2 1,1.10 - 5 l 1 Δ T - 2,3.10 - 5 l 2 Δ T

E a ideia é que o comprimento l não dependa da temperatura, ou seja:

d l d T = 0

Derivando os dois lados da equação em relação à temperatura, nós vamos nos livrar de algumas constantes:

0 = 2 1,1.10 - 5 l 1   d d T Δ T - 2,3.10 - 5 l 2 d d T   Δ T

E podemos definir a temperatura inicial como T = 0 ° C , de forma que:

d d T Δ T = d d T T - 0 = d d T T = 1

Então:

2 1,1.10 - 5 l 1 = 2,3.10 - 5 l 2

l 1 l 2 = 2,3 2,2

Passo 3

Então ficamos com um sistema de duas equações:

l 1 l 2 = 2,3 2,2 0,5 = 2 l 1 - l 2

Substituindo a primeira equação na segunda:

0,5 = 2   2,3 2,2 l 2 - l 2

0,5 = 1,091   l 2

l 2 = 45,8   c m

E portanto:

l 1 = 2,3 2,2   45,8 = 47,9   c m

Resposta

Os comprimentos devem ser l 1 = 47,9   c m e l 2 = 45,8   c m .

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