Enunciado

A corda de um pêndulo cônico tem 50,0   c m de comprimento e (na sua ponta) uma massa de 0,25   k g . (a) Encontre o ângulo entre a corda e a horizontal quando a tensão na corda é seis vezes o peso da massa. (b) Sob essas condições, qual é o período do pêndulo?

Passo 1

No caso do pêndulo cônico nós temos uma massa presa a uma corda em um poste vertical, e seguindo uma trajetória circular na horizontal:

Então queremos que as forças estejam em equilíbrio na direção vertical:

∑ F y = 0

F sen ⁡ θ = m g

E na direção horizontal precisamos de uma resultante centrípeta:

∑ F x = 0

F cos ⁡ θ = m v 2 r

Passo 2

(a) Além disso, sabemos pelo enunciado que F = 6 ( m g ) , substituindo no sistema:

6 m g sen ⁡ θ = m g 6 m g cos ⁡ θ = m v 2 r

E isolando sen ⁡ θ na primeira equação:

sen ⁡ θ = 1 6         ⇒         θ = 9,6 °

Passo 3

(b) Agora queremos calcular o período do pêndulo nesse caso. Esse período está “escondido” naquele v da segunda equação do nosso sistema:

6 m g cos ⁡ θ = m v 2 r

v = 6 g r cos ⁡ θ

E agora é só reescrever v do lado direito da equação:

v = 2 π r T  

T = 2 π r 6 g r cos ⁡ θ

E agora é só calcular o raio do movimento circular usando o comprimento L do pêndulo (dê uma olhada na figura):

r = L cos ⁡ θ

T = 2 π L cos ⁡ θ 6 g L cos ⁡ θ cos ⁡ θ = 2 π L 6 g

Substituindo os valores numéricos, ficamos com o seguinte resultado:

T = 2 π 0,50 6 ( 9,81 ) = 0,58   s

Resposta

(a) θ = 9,6 ° .

(b) T = 0,58   s .

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