Enunciado

Um cordão é enrolado em torno de um cilindro maciço e homogêneo, de raio R e massa M , que está colocado sobre uma superfície horizontal sem atrito. (O cordão não toca a superfície, porque existe uma ranhura na superfície, dando espaço ao cordão.) O cordão é puxado horizontalmente, de cima, com uma força F . (a) Mostre que a magnitude da aceleração angular do cilindro é duas vezes a magnitude da aceleração angular necessária para o rolamente sem deslizamento, de forma que o ponto mais baixo do cilindro desliza para trás, em relação à mesa. (b) Determine a magnitude e o sentido da força de atrito, em ter a mesa e o cilindro, que seriam necessários para o cilindro rolar sem deslizar. Qual seria a magnitude da aceleração do cilindro, neste caso?

Passo 1

Essa aí é bem parecida com várias que já fizemos, né? É o de sempre, vamos analisar as forças em cada direção, a rotação, e pronto, fechou! O desenho das forças vai ficar assim:

Passo 2

  1. Da segunda lei de Newton para a rotação, considerando o centro de massa do cilindro:
  2. α = τ I = F R M R 2 2 = 2 F M R

    Mas a aceleração do centro de massa pode ser calculada também:

    a c m = F M

    Como sabemos da rotação sem deslizamento, a c m = α ' R , para o ponto de contato.

    F M = α ' R

    α ' = F M R = α 2

    Passo 3

  3. Se considerarmos o ponto de contato com o chão como o pivô, o torque nesse ponto é:

τ = 2 F R = I α

α = 2 F R I

Pra calcular o momento de inércia do cilinro com relação ao pivô, vamos usar o teorema dos eixos paralelos:

I = I c m + M R 2

I = 3 M R 2 2

Substituindo aí em cima:

α = 4 F 3 M R

E como a = α R ,

a c m = 4 F 3 M

Na segunda lei de Newton para o cilindro:

F + f = M a c m

F + f = M 4 F 3

f = F 3

Essa força atua no mesmo sentido de F , ou seja, no eixo x positivo.

Resposta

  1. α ' = α 2
  2. f = F 3 , no sentido x positivo. a c m = 4 F 3 M
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