Enunciado

Um disco uniforme de raio r e massa M gira em torno de um eixo horizontal paralelo ao seu eixo de simetria e que passa por um ponto de seu perímetro, de forma a poder oscilar livremente em um plano vertical. Ele é largado do repouso, com seu centro de massa à mesma altura do pivô. (a) Qual é a rapidez angular do disco, quando seu centro de massa está diretamente abaixo do pivô? (b) Qual é a força exercida pelo pivô sobre o disco neste momento?

Passo 1

a) Oláaa, querido! Cê tá bem?

Então, ele quer a rapidez de um disco quando está no ponto mais baixo da sua trajetória. Sendo que o eixo de rotação está na borda do disco.

Nessa situação, com a rotação do disco ao redor do eixo, as energias potencial gravitacional e cinética rotacional ficam variando, de forma que convertem-se uma na outra. Então vamos usar a conservação de energia para achar ω no ponto mais baixo como ele pede.

Quando o disco está na altura do pivô, não há rapidez angular ω , porque ele está em repouso. Só temos energia potencial. E h vai ser a diferença de altura entre o centro do nosso disco e o centro do disco na situação final. Ou seja, h = r . Por isso, temos

E i = U g = m g h = m g r

Já no ponto mais baixo, não temos energia potencial, já que h = 0 . Mas temos enegia cinética de rotação, pois agora temos rapidez angular. Então

E f = K r o t = I ω 2 2

Assim a conservação de energia fica:

E f = E i

I ω 2 2 = M g r

Passo 2

Mas se liga, a gente conhece o momento de inércia do disco quando o eixo passa pelo seu centro (centro de massa). Nessa situação isso não acontece. A gente tem que usar o que então? Isso aí, teorema dos eixos paralelos! Ele diz que

I = I c m + M d 2

O momento de inércia de um disco em relação a um eixo que passa pelo centro de massa dele é I = M r 2 / 2 . Subsituindo:

I = M r 2 2 + M d 2

Cara, d é a distância entre o centro de massa do disco e o eixo de rotação do nosso caso. Como o eixo de rotação está na borda do nosso disco, d = r . Substituindo:

I = M r 2 2 + M r 2

I = 3 M r 2 2

Colocando isso lá na equação de conservação:

I ω 2 2 = M g r

3 M r 2 2 ω 2 2 = M g r

Isolando quem a gente quer

ω = 4 g 3 r

Passo 3

(b) Queremos saber a força F   que o eixo faz no disco quando ele está na posição mais baixa:

Então, o nosso disco faz um movimento circular em torno do eixo de rotação, certo? Logo, a força resultante na direção vertical vai ter um papel de força centrípeta, que ponta para o eixo de rotação (para cima). Assim a gente pode escrever que

F r e s = F c e n t r

Nessa situação, o pivô puxa o disco para cima com uma força F , enquanto o peso faz força para baixo.

F - F g = F c e n t r

F - M g = F c e n t r     i

Passo 4

Só que a força centrípeta é dada por

F c e n t r = M a c e n t r = M v 2 r

E temos que v = ω r :

F c e n t r = M ω r 2 r = M ω 2 r

Substituindo isso na nossa equação i :

F - M g = F c e n t r     i

F - M g = M r ω 2

Substituindo o valor de ω que a gente tinha achado e isolando F :

F = M g + M r 4 g 3 r

F = 7 M g 3

Resposta

  1. ω = 4 g 3 r
  2. F = 7 M g 3
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