Enunciado

Um corpo de 0,12   k g executa um movimento harmônico simples de amplitude 8,5   c m e período 0,20   s . (a) Qual é o módulo da força máxima que age sobre o corpo? (b) Se as oscilações são produzidas por uma mola, qual é a constante elástica da mola?

Passo 1

Fala galerinha bonita, tudo beleza?

Saca só, o jeito mais tranquilo pra gente resolver essa questão é montando a equação do oscilador. A partir dela dá pra descobrir tudo que o enunciado pede, sendo assim, temos que:

x t = A cos ⁡ ( ω t + ϕ )

O enunciado nos deu que a amplitude é A = 8,5   cm = 0,085   m , e aqui temos a liberdade de dizer que ϕ = 0 , isso é só uma mudança de referencial, sendo assim a equação fica desse jeito:

x t = 0,085 c o s ⁡ ( ω t )

E a frequência angular ω se relaciona com o período por essa fórmula aqui:

ω = 2 π T

Logo:

ω = 2 π 0,20

ω = 10 π   rad/s

E finalmente a equação fica:

x t = 0,085 c o s ⁡ ( 10 π t )

Agora vamos usar isso pra resolver o resto.

Passo 2

Agora a letra (a) pede o módulo da força máxima que age sobre o corpo.

Qual é a fórmula para a força em um oscilador harmônico? Bom, pela segunda lei de Newton, a força segue essa relação aqui:

F = m . a ( t )

Veja que colocamos a ( t ) porque a aceleração varia com o tempo em um oscilador. Pra achar a aceleração, é só derivar duas vezes a nossa equação da posição x .

A primeira derivada da posição em relação ao tempo dá a velocidade:

x ' t = v ( t ) = - 0,085 ( 10 π ) s e n ⁡ ( 10 π t )

E a derivada disso em relação ao tempo dá a aceleração:

x ' ' t = a t

a ( t ) = - 0,085 10 π 2 c o s ⁡ ( 10 π t )

a ( t ) = - 83,892 c o s ⁡ ( 10 π t )

Como o cosseno varia entre 1 e - 1 , o maior valor que a aceleração pode ter é:

a m á x = 83,892   m/ s 2

E por consequência a força máxima é:

F = m . a m á x

F = 0,12 83,892

F = 10   N

E essa é a resposta da letra (a).

Passo 3

Na letra (b), vamos supor que o nosso oscilador harmônico é uma mola.

Todo oscilador harmônico tem um valor k que é como se fosse a “resistência” dele ao movimento. No caso da mola, esse k é a constante elástica dela, e segue essa fórmula aqui:

ω = k m

Elevando os dois lados ao quadrado:

ω 2 = k m

k = m ω 2

Substituindo os valores:

k = 0,12 10 π 2

k = 1,2 × 10 2   N/m

Prontinho!

Resposta

(a) F m á x = 10   N

(b) k = 1,2 × 10 2   N/m

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