Enunciado

Uma mola homogênea com k = 8600 N / m é cortada em dois pedaços, 1 e 2, cujos comprimentos no estado relaxado são L 1 = 7,0 c m e L 2 = 10 c m . Qual é o valor (a) de k 1 e (b) de k 2 ? Um bloco preso na mola original, como na Fig. 15-5, oscila com uma frequência de 200 Hz. Qual é a frequência de oscilação se o bloco for preso (c) no pedaço 1 e (d) no pedaço 2?

Passo 1

Antes de responder a questão, a gente precisa entender a sua física. Se uma mola comprida é esticada de um Δ x , ela gera uma força F . Mas, se essa mola for cortada e submetida a o mesmo deslocamento Δ x , ela produzirá uma força maior que F . Isto se deve ao fato de que, o alongamento relativo dela, isto é, o deslocamento divido pelo comprimento total da mola é diferente nas duas situações. Vamos escrever então a equação da mola utilizando o conceito de deslocamento relativo

k = C L

onde L é o comprimento total da mola e C é uma constante de proporcionalidade, característico da construção física da mola, como diâmetro, material, etc. Se a mola for cortada em duas partes L 1 e L 2 , a única coisa que se manterá invariante é a constante de proporcionalidade. Logo, o valor da constante elástica mudará. Para calcular a nova constante elástica da mola de comprimento L 1 , a gente faz o seguinte

k = C L = C L 1 + L 2

k L 1 + L 2 = C

C L 1 = L 1 + L 2 k L 1 = k 1

Logo, substituindo os valores do problema, temos

k 1 = 0,70 + 1,0 0,70 8600 N / m = 20886 N / m ≅ 2,1 × 10 4 N / m

Passo 2

Fazendo a mesma coisa para L 2 , temos

k 2 = 0,70 + 1,0 1,0 8600 N / m = 14620 N / m ≅ 1.5 × 10 4 N / m

Passo 3

Para encontrar a frequência quando a mola 1 está acoplada a massa m , basta substituir na equação da frequência natural

f 1 = 1 2 π k 1 m = 3,1 × 10 2 H z

Passo 4

Fazemos o mesmo para a mola 2

f 2 = 1 2 π k 2 m = 2,6 × 10 2 H z

Resposta

(a) k 1 = 20886 N / m

(b) k 2 = 14620 N / m

(c) f 1 = 3,1 × 10 2 H z

(d) f 2 = 2,6 × 10 2 H z

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