Enunciado

Um corpo de 20,0   k g está se movendo no sentido positivo de um eixo x com uma velocidade de 200   m / s   quando, devido a uma explosão interna, se quebra em três pedaços. Um dos pedaços, com uma massa de 10,0   k g , se afasta do ponto da explosão com uma velocidade de 100   m / s no sentido positivo do eixo y . Um segundo pedaço, com uma massa de 4,00   k g , se move no sentido negativo do eixo x com uma velocidade de 500   m / s .

( a ) Em termos dos vetores unitários, qual é a velocidade da terceira parte?

( b ) Qual é a energia liberada na explosão? Ignore os efeitos da força gravitacional.

Passo 1

Desenhando a situação retratada no enunciado antes e depois da explosão nós temos:

Como a massa não é destruída então a soma das três massas após a explosão tem que ser a massa total do corpo antes da explosão e será de 20 - 10 - 4 = 6   k g .

Fazendo agora a conservação do momento linear nós temos:

E 0 = E f

20   k g ⋅ 200 m s i ^ = 10 k g ⋅ 100 m s j ^ - 4 k g ⋅ 500 m s i ^ + 6   k g ⋅ v 0 cos ⁡ θ i ^ + v 0 s e n   θ j ^

Então:

4000   i ^ = 1000 j ^ - 2000 i ^ + 6 v 0 cos ⁡ θ i ^ + 6 v 0 s e n   θ j ^

6000 i ^ - 1000 j ^ = 6 v 0 cos ⁡ θ i ^ + 6 v 0 s e n   θ j ^

Igualando os termos que contém i ^ nós temos:

6000 = 6 v 0 cos ⁡ θ

E igualando os termos com j ^ :

- 1000 = 6 v 0 s e n   θ

Passo 2

Dividindo a segunda equação pela primeira teremos:

- 1 6 = 6 v 0 s e n   θ 6   v 0 cos ⁡ θ = tan ⁡ θ

θ = tan - 1 ⁡ - 1 6 = - 9.46 °

Então:

6000 = 6 v 0 cos ⁡ ( - 9.46 ° ) → v 0 = 1013.8 m s

Só que como queremos a velocidade em termos dos vetores unitários então:

v → = v 0 cos ⁡ θ i ^ + v 0 s e n   θ j ^ = 1000 m s i ^ - 1000 6 m s j ^

Não precisava ter achado o θ e v 0 mas eu achei melhor que você entendesse essa forma que eu fiz que é bem útil.

Passo 3

Agora para a letra b , a energia antes da explosão é marcada somente pela energia cinética e vale:

K 0 = 1 2 ⋅ 20 × 200 2 = 400 × 10 3   J

E a energia cinética total dos corpos depois da explosão será dada por:

K f = 1 2 ⋅ 4 × 500 2 + 1 2 ⋅ 10 × 100 2 + 1 2 ⋅ 6 × 1013.8 2 = 3.63 × 10 6   J

Acabou que foi útil encontrar v 0 .

Então temos um modelo de energia igual a:

K 0 + E e x p l o s ã o = K f

Onde K 0 é a energia cinética inicial e K f a energia cinética final e sua diferença será causado por E e x p l o s ã o que é a energia da explosão, que será:

E e x p l o s ã o = 3.63 × 10 6 - 400 × 10 3 = 3.23 × 10 6   J

Resposta

a ) v → =   1000 m s i ^ - 1000 6 m s j ^

b )   3.23 × 10 6   J

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