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Um corpo maciço de massa m , colocado sobre uma superfície horizontal sem atrito, está preso a um fio que é enrolado em torno de um pilar cilíndrico vertical preso à superfície. Assim, quando o corpo é colocado em movimento, ele segue uma trajetória que espirala para dentro. (a) A quantidade de movimento angular do corpo, em relação ao eixo do pilar, é conservada? Explique sua resposta. (b) A energia do corpo é conservada? Explique sua resposta. (c) Se a rapidez do corpo é v 0 , quando o comprimento da parte desenrolada do fio é r , qual é a rapidez quando o comprimento da parte desenrolada do fio foi encurtado para r / 2 ?

Passo 1

Então, galera, o que a gente tem que entender aqui é o seguinte:

O objeto está amarrado nesse fio, que por sua vez está amarrado em um poste. Conforme ele vai se aproximando do poste, o fio vai se enrolando e diminuindo de tamanho. Então a gente tem que fazer o seguinte: vamos relacionar o torque à variação da quantidade de movimento angular. Se houver torque, houve variação da quantidade de movimento, e então o momento angular não se conserva. Bora lá!

Passo 2

  1. O torque que age no objeto é calculado como:
  2. τ = R T

    Mas o torque é igual à variação na quantidade de movimento angular:

    τ = d L d t = R T

    Então tá vendo que houve variação de quantidade de movimento angular, que foi igual a R T ? Sendo assim, o momento angular não se conserva!

    Passo 3

  3. Vamos ter que reparar algumas coisas:
  4. Primeiro, a velocidade e a tração são perpendiculares! Dá uma olhada lá no desenho pra reparar isso. Mas o deslocamento do corpo é na direção da velocidade, então o deslocamento também é perpendicular à força a todo momento. Lembra que o trabalho é função da força e do deslocamento?

    W = ∫ F → ⋅ d x

    Isso é tipo um produto escalar da força com o d x . Como a força F → é perpendicular ao d x , esse produto escalar vai dar 0 . Então não tem trabalho!

    O que poderia fazer com que a energia não se conservasse? Só se um trabalho externo atuasse, né? Mas a gente viu que o trabalho que poderia haver nesse caso é nulo. Então, a energia não vai ter nada que a modifique, e assim podemos dizer que há conservação de energia!

    Passo 4

  5. Como a gente viu no item (b), a energia se conserva. Então, aplicando conservação da energia para o corpo, vamos obter:

I ' ω ' 2 2 = I ω 2 2

I ' ω ' 2 = I ω 2

O momento de inércia do cilindro é igual a 1 2 m r 2 . Podemos usar também a condição de não deslizamento, v = ω r .

1 2 m r 2 2 v ' r 2 2 = 1 2 m r 2 v 0 r 2

Agora é só a gente dar uma arrumada nessa brincadeira aí. Cortando o que a gente tem que cortar, vamos chegar em:

v ' = v 0

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