Enunciado

Um corpo é projetado verticalmente, da superfície da Terra, com uma rapidez menor do que a rapidez de escape. Mostre que a altura máxima atingida pelo corpo é H = R T H ' / ( R T - H ' ) , onde H ' é a altura que seria alcançada se o campo gravitacional fosse constante. Despreze a resistência do ar.

Passo 1

Fala! A gente quer saber a altura máxima de um corpo que é “jogado” para cima a partir da superfície da Terra.

No início o corpo está na superfície da Terra e depois ele está no ponto onde sua altura é máxima.

Primeiro podemos usar a conservação de energia assumindo que o campo gravitacional é constante para determinar H ' . Nesse caso, a energia potencial gravitacional é aquela antiga, que vale só para superfície da Terra

U = m g h

Onde h é a distância do corpo até a superfície da Terra, g é a gravidade da superfície da Terra e m é a massa do corpo. Aqui U = 0 na superfície da Terra.

E daí, podemos aplicar a conservação de energia de novo considerando que o campo não é constante e que a energia potencial gravitacional é nula para uma distância infinita, e com isso achar H . Nesse caso, considerando a Terra uma esfera maciça, podemos usar

U r = - G M m r

Onde M é a massa da Terra, m a massa do corpo em questão, G   a constante de gravitação universal e r a distância entre o corpo e o centro da Terra.

Vamos ver como isso fica.

Passo 2

Determinando H ' .   A equação da conservação de energia é

K f + U f = U i + U i

K f - K i + U f - U i = 0

Considerando o zero da energia potencial na superfície da Terra, temos U i = 0 . Temos também que na altura máxima o corpo tem velocidade nula, logo K f = 0

Daí ficamos com:

- K i + U f = 0

A energia cinética é dada por

K i = 1 2 m v 2

E a energia potencial na altura H ' (quando a gente considera o campo constante) é

U = m g H '

Substituindo:

- 1 2   m v 2 + m g H ' = 0

Isolando o H ' :

H ' = v 2 2 g

Passo 3

Agora precisamos encontrar o H . Considerando o zero da energia potencial gravitacional no infinito:

K f - K i + U f - U i = 0

E como K f = 0 porque o ponto final é o ponto de altura máxima, isso pode ser reduzido a:

- K i + U f - U i = 0

A energia cinética é a mesma do item anterior. No momento inicial a distância do corpo até o centro da Terra é o próprio raio da Terra r = R T . Já no segundo momento, r é o raio da Terra mais H . Então as energias potenciais ficam

U i = - G M m R T

U f = - G M m R T + H

Agora substituindo os valores:

- 1 2   m v 2 - G M m R T + H + G M m R T = 0

Podemos simplificar isso lembrando que g = G M R T 2 . Vamos multiplicar os numeradores e denominadores do termo do meio por R T 2 e os do termo da direita por R T .

- 1 2   m v 2 - G M m R T 2 R T + H R T 2 + G M m R T R T 2 = 0

Rearrumar para aparecer g = G M R T 2

- 1 2   m v 2 - m R T 2 R T + H G M R T 2 + G M R T 2 m R T = 0

- 1 2   m v 2 - m R T 2 R T + H g + g m R T = 0

Dividindo tudo por m

- 1 2 v 2 - g R T 2 R T + H + g R T = 0

Passo 4

Agora isolando o v 2 para substitui-lo na equação de H ' :

v 2 = 2 g R T 2 R T - g R T 2 R T + H

v 2 = 2 g R T 2 1 R T - 1 R T + H

v 2 = 2 g R T 2 R T + H R T R T + H - R T R T + H R T

v 2 = 2 g R T 2 H R T R T + H

v 2 = 2 g R T H R T + H

Substituindo em H ' :

H ' = v 2 2 g

H ' = 2 g R T H R T + H 2 g

H ' = H R T R T + H

Agora é só isolar o H !

H R T = H ' R T + H

H = H ' R T + H R T

H = H ' + H ' H R T

H 1 - H ' R T = H '

H R T - H ' R T = H '

H = R T H ' R T - H '

Mostradíssmo!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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