Enunciado

As energias cinéticas translacionais das moléculas de um gás são distribuídas de acordo com a distribuição de energia de Maxwell-Boltzmann, Equação 17-38.

(a) Determine o valor mais provável da energia cinética translacional (em termos de temperatura T ) e compare esse valor com o valor médio.

(b) Esboce um gráfico da distribuição de energia cinética translacional [ f ( E )   v e r s u s   E ] e identifique a energia mais provável e a energia média. (Não se preocupe em calibrar a escala vertical do gráfico.)

(c) Seu professor diz: ″ Basta olhar para o gráfico   f   ( E )   v e r s u s   E   para ver que a energia cinética translacional média é consideravelmente maior que a mais provável energia cinética translacional. ″ Quais características do gráfico sustentam sua afirmação?

Passo 1

a) Esse problema é bem largo, então vamos sem enrolação galera! Podemos definir a derivada de f ( E ) em relação a E igual a zero, a fim de determinar o valor mais provável da energia cinética das moléculas de gás. A função de distribuição de energia Maxwell-Boltzmann é:

f E = 2 π 1 k T 3 2 E e - E / k T

Diferenciando esta expressão em relação a E para obter:

d d E f E = 2 π 1 k T 3 2 1 2 E - 1 2 e E k T   +   E 1 2 - 1 k T e - E k T

Passo 2

Agora a gente deriva e iguala a 0 para achar os picos:

1 2 E p i c o 1 / 2     e - E p i c o k T + E p i c o 1 2 - 1 k T e - E / k T = 0

Resolvendo para E p i c o :

E p i c o = 1 2 k T

Portanto, a energia média das moleculas é dada por:

E a v = 3 2 k T

Fazendo uma relação:

E p i c o E a v = 1 2 k T 3 2 k T = 1 3 → E p i c o = 1 3 E a v

Passo 3

b) O gráfico a seguir da distribuição de energia foi plotado usando um programa de planilha. Observe que k T foi definido como 1 e que, conforme previsto em nosso resultado em (a), o valor de pico ocorre para E   =   0,5 .

c) O gráfico aumenta de zero para o pico muito mais rapidamente do que cai à direita do pico. Como a distribuição é tão fortemente inclinada à direita do pico, as moléculas externas com energias relativamente altas puxam a média ( 3 k T 2   ) para a direita do valor mais provável ( k T 2 ).

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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