Enunciado

Um corpo de raio R e massa m rola suavemente com velocidade v em uma superfície horizontal e depois sobe sobe uma colina até uma altura máxima h .

( a ) Se h = 3 v 2 / 4 g , qual é o momento de inércia do corpo em relação ao eixo de rotação que passa pelo centro de massa?

b Que corpo pode ser esse?

Passo 1

Olá pessoal, tudo bem? Vamos praticar um pouco de mecânica de rotações?

O problema diz que um corpo rola suavemente (ou seja, sem deslizamento, o que nos diz que a relação v c m = ω r é válida) e sobe uma colina até uma altura h . Bom, como o sistema não dissipa energia, podemos dizer que a energia no pé da colina vai ser a mesma energia no alto da colina, certo?

No pé da colina temos apenas a energia cinética (de rotação e de translação, claro). À medida que o corpo vai subindo a colina, essa energia cinética é gradualmente convertida em energia potencial gravitacional. E no alto da colina, temos apenas a energia potencial gravitacional agindo.

Passo 2

Podemos então igualar as duas energias nesses pontos. Pelo princípio de conservação de energia (aquele que nos diz que a soma das energias é constante se o sistema não apresenta dissipação) teremos:

E p é   d a   c o l i n a = E a l t o   d a   c o l i n a  

Lembrando que a energia potencial é dada por m g h , energia cinética de translação m v c m 2 / 2 e de rotação I ω 2 / 2 :

E r o t a ç ã o + E t r a n s l a ç ã o = m g h

I ω 2 2 + m v c m 2 2 = m g h

Passo 3

Substituindo a velocidade angular ω = v c m / r temos:

1 2 I v c m r 2 + m v c m 2 2 = m g h

E sabendo que a altura máxima é h = 3 v 2 / 4 g podemos substituir ali em cima:

1 2 I v c m r 2 + m v c m 2 2 = m g 3 v 2 4 g

Como v = v c m vou usar apenas v pra facilitar a visualização e simplificar a notação ta?

I 2   . v 2 r 2 = 3 m v 2 4 - m v 2 2

Podemos cortar v 2 pois aparece em todos os termos:

I 2   . 1 r 2 = 1 4 m

Agora isolando I no lado esquerdo temos:

I = 2 4 m r 2 = 1 2 m r 2

E esse é o momento de inércia de um cilindro maciço girando em torno do seu eixo central

Show!

Bora treinar mais?

Resposta

( a )   1 2 m r 2 k g . m ²  

b c i l i n d r o   m a c i ç o

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