Enunciado

O cubo de 3,00 kg na Fig. 15-45 tem d = 6,00 c m de aresta e está montado em um eixo que passa pelo centro. Uma mola ( k = 1200 N / m ) liga o vértice superior do cubo a uma parede rígida. Inicialmente, a mola está relaxada. Se o cubo é girado de 3º e liberado, qual é o período do MHS resultante?

Passo 1

Show de bolinhas galera, antes da gente achar o período T, vamos calcular a energia cinética máxima. Ela é igual a máxima energia potencial, logo:

K m á x = U m á x = 1 2 k x m á x 2

O deslocamento x m á x a gente descobre fazendo um triângulo retângulo que pega os pontos centro do cubo, vértice superior antes do giro de 3° e o vértice superior após o giro de 3º

Sendo assim, podemos escrever que:

tan ⁡ 3 ° = x m á x 2 d 2

Logo:

x m á x = 2 d 2 tan ⁡ 3 °

Sendo assim, teremos:

U m á x = 1 2 k x m á x 2

U m á x = 1 2 k 2 d 2 4 tan 2 ⁡ 3 °

Substituindo os valores, teremos:

U m á x = 1 2   1200 2 6,00 × 10 - 2 2 4 tan 2 ⁡ 3 °

U m á x = 29,66 × 10 - 4   J

E igualando essa energia potencial máxima com a energia cinética de rotação máxima (isso mesmo, de rotação, afinal esse cubo vai começar a rodar).

U m á x = K m á x

29,66 × 10 - 4 = 1 2 I ω m á x 2

A máxima velocidade angular do cubo é   ω m á x (não confundir com a velocidade angular de oscilação!).

Passo 2

Achando ω m á x , a gente consegue diretamente achar a frequência ω de oscilação do cubo, e a partir dela achar o período T.

Antes disso, vamos calcular o momento de inércia do cubo (esse momento de inércia é tabelado.)

I = 1 6 M d 2

I = 0,0018   kg m 2

Substituindo na equação 1 e isolando ω m , a gente tem:

ω m á x = 2 K I

ω m á x = 2 0,00296   J 0,0018   kg m 2

ω m á x = 1,81 rad / s

O próximo passo agora é relacionar ω m á x com ω . Esta relação pode ser encontrada fazendo a derivada da posição θ t :

θ t = θ m á x cos ⁡ ω t

Derivando:

ω t = θ m á x ω - sin ⁡ ω t

E o valor que acompanha a senóide é a amplitude, por isso:

ω m á x = θ m á x ω

E o ângulo máximo da oscilação vai ser o ângulo do qual o cubo começou as suas oscilações, que é exatamente o ângulo que ele foi girado antes de ser solto:

θ m á x = 3 °

θ m á x = 0,0523   rad

Portanto, teremos:

1,81 = 0,0523 ω

ω = 34,6 rad / s

Tendo o valor da frequência angular de oscilação, a gente consegue calcular o período T de oscilação.

T = 2 π ω

T = 0,18   s

Resposta

T = 0,18 s

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