Enunciado

Um bloco retangular, com faces de largura a = 35 c m e comprimento b = 45 c m , é suspenso por uma barra fina que passa por um pequeno furo no interior do bloco e colocado para oscilar como um pêndulo, com uma amplitude suficientemente pequena para que se trate de um MHS. A Fig. 15-43 mostra uma possível posição do furo, a uma distância r do centro do bloco, sobre a reta que liga o centro a um dos vértices. (a) Plote o período em função da distância r de modo que o mínimo da curva fique evidente. (b) O mínimo acontece para que valor de r ? Na realidade, exite um lugar geométrico em torno do centro do bloco para qual o período de oscilação possui o mesmo valor mínimo. (c) Qual é a forma desse lugar geométrico?

Passo 1

Conforma a o ponto de articulação muda, a distribuição de massa vai mudando também, e com isso o período T de oscilação. Vamos escreve a equação para o período de um corpo.

T = 2 π I m g h

onde I é o momento de inércia e r é a distância do ponto de articulação até o centro de massa. No nosso caso,

h = r

O momento de inércia de um retângulo é dado pela equação abaixo

I c m = a 2 + b 2 m 12

Usando o teorema dos eixos paralelos e substituindo na equação 1, a gente tem

T = 2 π I c m + m r 2 m g d = 2 π g a 2 + b 2 12 r + r

Beleza, já temos T em função de r . Substituindo os valores de a e b que o problema forneceu, a gente consegue plotar o gráfico

Passo 2

Pra achar o valor do mínimo, basta derivar a equação com relação a r e igualar a zero.

d T d r = 0 → r = a 2 + b 2 12

r = 0,35 m 2 + 0,45 m 2 12 = 0,16 m

Passo 3

A direção deste ponto não é importa. Só o que importa é a distância dele ao centro de massa. Assim, o lugar geométrico é um círculo de raio 0,16 m localizado no centro de massa do retângulo.

Resposta

(a)

(b) r = 0,16 m

(c) O lugar geométrico é um círculo de raio 0,16 m localizado no centro de massa do retângulo.

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