Enunciado

Um cubo de cobre enegrecido com bordas de 1,00   c m de comprimento é aquecido a uma temperatura de 300 ° C e, em seguida, é colocado em uma câmara de vácuo cujas paredes estão a uma temperatura de 0 ° C . Na câmara de vácuo, o cubo esfria radiativamente. (a) Mostre que a temperatura (absoluta) T do cubo segue a equação diferencial: d T d t = - e σ A C ( T 4 - T 0 4 ) onde C é a capacidade térmica do cubo, A é sua área de superfície, e a emissividade e a temperatura da câmara de vácuo. (b) Usando o método de Euler (Seção 5.4 do Capítulo 5), resolva numericamente a equação diferencial para encontrar T t e faça um gráfico. Suponha que e   =   1,00 . Quanto tempo leva para o cubo esfriar a uma temperatura de 15 ° C ?

Passo 1

(a)Vamos relacionar a lei de Stefan-Boltzmann com a equação de taxa de calor para a variação de temperatura para obtermos a equação diferencial que descreve o resfriamento do cubo de cobre, a lei é:

d Q d t = e σ A T 4 - T 0 4

E pela definição da capacidade térmica:

d Q d T = - C d T d t

Passo 2

Igualamos as duas e isolamos d T d t :

- C d T d t = e σ A T 4 - T 0 4

d T d t = - e σ A T 4 - T 0 4 C

Passo 3

Para fazermos o gráfico da letra (b), precisaremos calcular o valor da capacidade térmica, para isso, basta utilizarmos a sua definição e reescrevê-la em termos da densidade e do volume:

C = m c = ρ V c

Substituindo valores numéricos:

C = 8.93 × 10 3 k g m 3 1.00 × 10 - 6 m 3 0.386 k J k g . K = 3.45 J / K

E então podemos fazer o gráfico:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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