Enunciado

Uma curva de raio 30   m é inclinada de forma que um carro de 950   k g viajando a 40   k m / h pode percorrê-la mesmo se a estrada está tão congelada que o coeficiente de atrito estático é aproximadamente zero. Você está compromissado a dizer à polícia local o intervalo de velocidades nas quais um carro pode viajar sobre essa curva sem derrapar. Negligencie os efeitos do arrasto do ar e do atrito de rolamento. Se o coeficiente de atrito estático entre a estrada e os pneus é 0,300 , qual é o intervalo de velocidade que você entrega à polícia?

Passo 1

Para que você possa percorrer a estrada com uma rapidez v = 40   k m / h = 11,1   m / s , mesmo quando está congelada ( F a t = 0 ), qual deve ser a inclinação? Vamos fazer um diagrama:

A seta vermelha indica a direção da resultante centrípeta, ficamos apenas com uma componente da normal nessa direção:

∑ F c = N sen ⁡ θ = m v 2 r

E na direção vertical, para que haja equilíbrio, teremos:

∑ F y = N cos ⁡ θ - m g = 0

Essas duas equações formam um sistema que podemos resolver para encontrar θ . Pela segunda equação temos que:

N = m g cos ⁡ θ

Substituindo isso na segunda:

m g tan ⁡ θ = m v 2 r

tan ⁡ θ = v 2 g r = 11,1 2 ( 9,81 ) ( 30 )

θ = 22,7 °

Passo 2

Beleza, agora sabemos a inclinação da estrada. Agora considerando μ = 0,3 vamos encontrar a rapidez mínima em que não há derrapagem.

Quando estamos próximos da rapidez mínima, a tendência é que o carro derrape para dentro da curva, então o diagrama fica da seguinte forma:

Vamos montar as equações em cada uma das direções. Na horizontal precisamos de uma resultante centrípeta:

N sen ⁡ θ - F a t cos ⁡ θ = m v m í n 2 r

E na vertical precisamos do equilíbrio:

N cos ⁡ θ + F a t sen ⁡ θ = m g

Quando a rapidez é mínima, estamos exigindo o máximo da força de atrito, então podemos usar a seguinte relação:

F a t = μ N

Substituindo isso nas duas equações de cima, ficamos com um sistema:

N sen ⁡ θ - μ cos ⁡ θ = m v m í n 2 r N cos ⁡ θ + μ sen ⁡ θ = m g

Nosso objetivo é encontrar v m í n , então vamos dividir a primeira equação pela segunda:

sen ⁡ θ - μ cos ⁡ θ cos ⁡ θ + μ sen ⁡ θ = v m í n 2 g r

E agora é só substituir θ = 22,7 ° e μ = 0,3 :

v m í n 2 = ( 9,81 ) ( 30 ) sen ⁡ 22,7 ° - 0,3 cos ⁡ 22,7 ° cos ⁡ 22,7 ° + 0,3 sen ⁡ 22,7 °

v m í n = 5,6   m / s

Passo 3

E para encontrar o caso máximo, vamos fazer praticamente a mesma coisa, mas dessa vez o atrito será forçado no sentido oposto:

Ao invés de refazer a conta inteira, vamos simplesmente trocar o sinal dos termos com μ na equação final, e trocar v m í n por v m á x :

v m a x 2 g r = sen ⁡ θ + μ cos ⁡ θ cos ⁡ θ - μ sen ⁡ θ

v m á x 2 = ( 9,81 ) ( 30 ) sen ⁡ 22,7 ° + 0,3 cos ⁡ 22,7 ° cos ⁡ 22,7 ° - 0,3 sen ⁡ 22,7 °

v m á x = 16   m / s

E então o intervalo permitido para a rapidez é:

5,6 m s ≤ v ≤ 16   m / s

Resposta

O intervalo entregue à polícia seria 5,6   m / s ≤ v ≤ 16   m / s .

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