Enunciado

Seu time de engenheiros de teste está prestes a soltar o freio de estacionamento de um carro de 800   k g , de forma que ele irá descer por uma inclinação muito longa de 6,0   % em preparação para uma batida no fim da rampa. (Em uma inclinação de 6,0 % , a mudança na altitude é 6,0   % da distância horizontal viajada.) A força resistiva total (arrasto do ar e atrito de rolamento) para esse carro foi estabelecida previamente como F d = 100   N + 1,2   N s 2 m 2 v 2 , onde v é a rapidez do carro. Qual é a rapidez terminal para o carro descendo por essa inclinação?

Passo 1

Vamos começar entendendo bem o que podemos tirar dessa inclinação de “ 6,0 % ”. Isso quer dizer apenas que a tangente do ângulo de inclinação da rampa é 6,0 % = 0,06 , então:

tan ⁡ θ = 0,06

θ = 3,43 °

Beleza, então estamos em um plano inclinado e conhecemos o valor de θ , como fica o diagrama das forças que agem sobre o carro?

Vamos aplicar a segunda lei de Newton à direção paralela ao plano:

∑ F x = m a x

∑ F x = m g sen ⁡ θ - F d = m a x

E substituindo com a expressão para F d que foi dada no enunciado:

m g sen ⁡ θ - [ 100 + 1,2 v 2 ] = m a x

Ok, essa é a equação dinâmica do carro.

Passo 2

Se queremos aproveitar essa equação para encontrar a rapidez terminal, precisamos analisar o caso em que essas forças entram em equilíbrio, ou seja:

a x = 0

Então:

m g sen ⁡ θ - 100 + 1,2 v 2 = 0

v 2 = m g sen ⁡ θ - 100 1,2

v 2 = 800 9,81 sen ⁡ 3,43 ° - 100 1,2 = 307,9

v = 17,5   m / s

Resposta

A rapidez terminal é v = 17,5   m / s .

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